题目内容
如图(1),AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,若直线CD与⊙O相切于点C,AD⊥CD,垂足为D.
(Ⅰ)求证:△ADC∽△ACB;
(Ⅱ)如果把直线CD向下平行移动,如图(2),直线CD交⊙O于C,G两点,若题目中的其他条件不变,且AG=4,BG=3,求
的值.
(Ⅰ)求证:△ADC∽△ACB;
(Ⅱ)如果把直线CD向下平行移动,如图(2),直线CD交⊙O于C,G两点,若题目中的其他条件不变,且AG=4,BG=3,求
AD |
AC |
考点:切线的性质,相似三角形的判定与性质
专题:
分析:(I)连接OC,求出∠ADC=∠ACB,∠DCA=∠B,根据相似三角形的判定推出即可;
(II)根据勾股定理求出AB,求出∠ACG+∠B=180°,求出∠DCA=∠B,求出∠ADC=∠AGB,证△ADC∽△AGB,得出比例式,代入求出即可.
(II)根据勾股定理求出AB,求出∠ACG+∠B=180°,求出∠DCA=∠B,求出∠ADC=∠AGB,证△ADC∽△AGB,得出比例式,代入求出即可.
解答:(I)证明:连接OC,
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB,
∵AB是⊙O直径,DC切⊙O于C,AD⊥DC,
∴∠ADC=∠DCO=∠ACB=90°,
∴∠DCA+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠DCA=∠OCB=∠OBC,
∵∠ADC=∠ACB,∠DCA=∠OBC,
∴△ADC∽△ACB.
(II)解:∵AB是⊙O直径,
∴∠AGB=90°,
∵AG=4,BG=3,由勾股定理得:AB=
=5,
∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形,
∴∠B+∠ACG=180°,
∵∠ACD+∠ACG=180°,
∴∠B=∠DCA,
∵AD⊥DC,
∴∠ADC=∠AGB,
∴△ADC∽△AGB,
∴
=
,
∴
=
=
.
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB,
∵AB是⊙O直径,DC切⊙O于C,AD⊥DC,
∴∠ADC=∠DCO=∠ACB=90°,
∴∠DCA+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠DCA=∠OCB=∠OBC,
∵∠ADC=∠ACB,∠DCA=∠OBC,
∴△ADC∽△ACB.
(II)解:∵AB是⊙O直径,
∴∠AGB=90°,
∵AG=4,BG=3,由勾股定理得:AB=
42+32 |
∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形,
∴∠B+∠ACG=180°,
∵∠ACD+∠ACG=180°,
∴∠B=∠DCA,
∵AD⊥DC,
∴∠ADC=∠AGB,
∴△ADC∽△AGB,
∴
AD |
AG |
AC |
AB |
∴
AD |
AC |
AG |
AB |
4 |
5 |
点评:本题考查了圆内接四边形,切线的性质,圆周角定理,相似三角形的性质和判定,等腰三角形的性质的应用,关键是推出△ADC∽△ACB或△ADC∽△AGB.
练习册系列答案
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且方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1,x2(x1<x2),下面说法错误的是( )
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已知a>b,则下列式子中不正确的是( )
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D、-
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| ||
D、
|