Question

【题目】已知，□ABCD中∠ABC=90°，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为平行四边形．

（2）如图1，求AF的长．

（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm，设运动时间为t秒，若当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AF=5；（3）以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=秒．

【解析】分析：（1）①先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；

②根据勾股定理即可求AF的长；

（2）分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；

详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．

∵EF垂直平分AC，

∴OA=OC．

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE=OF（AAS）．

∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE为菱形．即四边形AFCE为平行四边形．

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理，得

16+（8-x）2=x2，

解得：x=5，

∴AF=5．

（2）由作图可以知道，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．

∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，

∴PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=t，QA=12-0.8t，

∴t=12-0.8t，

解得：t=．

∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=秒．