Question

【题目】如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α

（0°＜α＜60°且α≠30°）.

（1）当0°＜α＜30°时，

①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；

②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；

（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）①；②CE+AC＝；（2）CE－AC＝，理由见解析

【解析】(1) ①根据旋转的性质及等边三角形的对称性可得QA=QB，再由QB=QE可得；②延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H，

（1）当0°＜α＜30°时，由∠BQE=60°+2α可得∠QEC=120°+α，再利用△QAF≌△QEC可得QF=QC，由等腰三角形三线合一的性质可得∠ACQ =30°，得到△QCF为等腰三角形，再利用解直角三角形即可得出结果;(2)由旋转的性质可得线段CE，AC，CQ之间的数量关系.

①画出的图形如图9所示．

∵ △ABC为等边三角形，

∴ ∠ABC=60°．

∵ CD为等边三角形的中线，

Q为线段CD上的点，

由等边三角形的对称性得QA=QB．

∵ ∠DAQ=α，

∴ ∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．

∵ 线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，

∴ QE = QA．

∴ QB=QE．

可得 ．

②．

证法一：如图10，延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H．

∵ ∠BQE=60°+2α，点E在BC上，

∴ ∠QEC=∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．

∵ 点F在CA的延长线上，∠DAQ=α，

∴ ∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．

∴ ∠QAF=∠QEC．

又∵ AF =CE，QA=QE，

∴ △QAF≌△QEC．

∴ QF=QC．

∵ QH⊥AC于点H，

∴ FH=CH，CF=2CH．

∵ 在等边三角形ABC中，CD为中线，

点Q在CD上，

∴ ∠ACQ==30°，

即△QCF为底角为30°的等腰三角形．

∴ ．

∴ ．

即．

思路二：如图11，延长CB到点G，使得BG=CE，连接QG，可得

△QBG≌△QEC，△QCG为底角为30°的等腰三角形，与证法一

同理可得 ．

（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．