题目内容
【题目】如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-4,4),点B的坐标为(0,2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)以点A为直角顶点作∠CAD=90°,射线AC交x轴的负半轴于点C,射线AD交y轴的负半轴于点D.当∠CAD绕着点A旋转时,OC-OD的值是否发生变化?若不变,求出它的值;若变化,求出它的变化范围;
(3)如图2,点M(-4,0)和N(2,0)是x轴上的两个点,点P是直线AB上一点.当△PMN是直角三角形时,请求出满足条件的所有点P的坐标.
【答案】(1)直线AB的解析式为:y=-x+2;(2)(2)不变.理由见解析;(3)点P的坐标为(-4,4)或(2,1)或(-,+2)或(,-+2).
【解析】
(1)设直线AB解析式为y=kx+b,把A与B坐标代入列出方程组,求出方程组的解得到k与b的值,即可确定出直线AB解析式;
(2)当∠CAD绕着点A旋转时,OC-OD的值不变,理由为:过A作AE垂直于x轴,AF垂直于y轴,利用同角的余角相等得到一对角相等,求出A的坐标得到AE=AF,再由已知直角相等,利用ASA得到三角形AEC与三角形AFD全等,利用全等三角形对应边相等得到EC=FD,进而求出OC-OD的值即可;
(3)分三种情况考虑:①当M为直角顶点时;②N为直角顶点时;③P为直角顶点时;分别求出P坐标即可.
(1)设直线AB的解析式为:y=kx+b(k≠0),
∵点A(-4,4),点B(0,2)在直线AB上,
∴,
解得:.
∴直线AB的解析式为:y=-x+2;
(2)不变.理由如下:
过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为E,F(如答图1),可得∠AEC=∠AFD=90°,
又∵∠BOC=90°,
∴∠EAF=90°,即∠DAE+∠DAF=90°,
∵∠CAD=90°,即∠DAE+∠CAE=90°,
∴∠CAE=∠DAF,
∵A(-4,4),
∴OE=AF=AE=OF=4,
在△AEC和△AFD中,
,
∴△AEC≌△AFD(ASA),
∴EC=FD,
∴OC-OD=(OE+EC)-(FD-OF)=OE+OF=8,
则OC-OD的值不发生变化,值为8;
(3)①当M为直角顶点时,点P的横坐标为-4,
∵点P在直线AB上,
将x=-4代入y=-x+2得,y=4,
∴点P的坐标为P(-4,4);
②当N为直角顶点时,点P的横坐标为2,
∵点P在直线AB上,
将x=2代入y=-x+2得,y=1,
∴点P的坐标为P(2,1);
③当P为直角顶点时,
∵点P在直线AB上,可设点P的坐标为(x,-x+2),
则MP2=(x+4)2+(-x+2)2,NP2=(x-2)2+(-x+2)2,
在Rt△PMN中,MP2+NP2=MN2,MN=6,
∴(x+4)2+(-x+2)2+(x-2)2+(-x+2)2=62,
解得:x1=-,x2=,
∴P(-,+2)或(,-+2),
综上所述,满足条件的所有点P的坐标为(-4,4)或(2,1)或(-,+2)或(,-+2).