Question

【题目】（1）如图（1），在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF；

（2）如图（2），在平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，求证AC2+BD2=2（AB2+BC2）

（3）如图（3），PQ是△PMN的中线，若PM=11，PN=13，MN=10，求出PQ的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2

【解析】

（1）利用平行四边形的性质，判定Rt△AED≌Rt△CFB，即可得到AE=CF；

（2）分别过A，D作AE⊥BC交CB延长线于E，DF⊥BC于F．根据勾股定理可得：AC2=AE2+（BE+BC）2①，AE2=AB2-BE2②，BD2=DF2+（BC-CF）2③，DF2=DC2-CF2④，②代①，④代③，两式相加即可得到结论；

（3）延长PQ至R，使得QR=PQ，连接RM，RN，依据四边形NPMR是平行四边形，利用结论MN2+PR2=2（NP2+MP2），即可得出PQ的长．

解：（1）∵平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，

∴AD=CB，DE=BF，∠AED=∠CFB=90°，

在Rt△AED≌Rt△CFB中,

,

∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL），

∴AE=CF；

（2）如图（2），分别过A，D作AE⊥BC交CB延长线于E，DF⊥BC于F．

根据勾股定理可得：AC2=AE2+（BE+BC ）2 ①，AE2=AB2-BE2②，

BD2=DF2 +（BC-CF）2 ③，DF2=DC2-CF2 ④，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，

又∵AE⊥BC，DF⊥BC，

∴∠AEB=∠DFC=90°，AE=DF，

∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），

∴BE=CF，而AB=DC，

把②代①，④代③，可得：

AC2=AB2 -BE2 +（BE+BC）2

BD2=DC2 -CF2+（BC-CF）2

两式相加，可得：AC2 +BD2=2（AB2 +BC2）；

（3）如图（3），延长PQ至R，使得QR=PQ，连接RM，RN，

∵PQ是△PMN的中线，

∴NQ=MQ，

∴四边形NPMR是平行四边形，

由（2）可得，MN2 +PR2=2（NP2 +MP2），

又∵PM=11，PN=13，MN=10，

∴102 +（2PQ）2=2（132+112），

解得PQ=2．