题目内容
如图,P为△ABC边BC上的一点,且PC=2a,PB=a,∠ABC=45°,∠APC=60°,则AP的长是 .
考点:勾股定理,等腰直角三角形
专题:
分析:过点C作CD⊥AP于D,根据直角三角形两锐角互余求出∠PCD=30°,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PD=
PC=a,再根据等边对等角求出PD=PB=a,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDP=∠DBP=30°,从而得到∠DBP=∠PCD,根据等角对等边可得BD=CD,根据∠ABC=45°求出∠ABD=15°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAD=15°,从而得到∠BAD=∠ABD,根据等角对等边可得AD=BD,最后根据AP=AD+PD代入数据进行计算即可得解.
1 |
2 |
解答:解:如图,过点C作CD⊥AP于D,
∵∠APC=60°,
∴∠PCD=90°-60°=30°,
∴PD=
PC=a,
∵PB=a,
∴PD=PB=a,
∴∠BDP=∠DBP,
∵∠BDP+∠DBP=∠APC=60°,
∴∠BDP=∠DBP=30°,
∴∠DBP=∠PCD,
∴BD=CD=
=
=
a,
又∵∠ABC=45°,∠DBP=30°,
∴∠ABD=∠ABC-∠DBP=45°-30°=15°,
∴∠BAD=∠BDP-∠ABD=30°-15°=15°,
∴∠BAD=∠ABD=15°,
∴AD=BD,
∴AD=BD=CD=
a,
∴AP=AD+PD=
a+a=(
+1)a.
故答案为:(
+1)a.
∵∠APC=60°,
∴∠PCD=90°-60°=30°,
∴PD=
1 |
2 |
∵PB=a,
∴PD=PB=a,
∴∠BDP=∠DBP,
∵∠BDP+∠DBP=∠APC=60°,
∴∠BDP=∠DBP=30°,
∴∠DBP=∠PCD,
∴BD=CD=
PC2-PD2 |
(2a)2-a2 |
3 |
又∵∠ABC=45°,∠DBP=30°,
∴∠ABD=∠ABC-∠DBP=45°-30°=15°,
∴∠BAD=∠BDP-∠ABD=30°-15°=15°,
∴∠BAD=∠ABD=15°,
∴AD=BD,
∴AD=BD=CD=
3 |
∴AP=AD+PD=
3 |
3 |
故答案为:(
3 |
点评:本题考查了勾股定理的应用,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,等边对等角和等角对等边,作辅助线构造出直角三角形和等腰三角形是解题的关键.
练习册系列答案
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| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
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记A=
,再记[A]表示不超过A的最大整数,则[A]=( )
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k=1 |
1+
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