Question

如图．⊙O中，AB是直径，AD是弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，若AD=CD，则tan∠OCA值是（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  10

  10

• C、

  5

  5

• D、

  2

  3

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接BD，过O作OM⊥AC于M，求出AM=OM，设OM=AM=a，则AO=

a2+a2

=

2

a，求出AB=BC=2ao=2

2

a，由勾股定理求出AC=4a，求出CM=3a，代入tan∠OCA=

OM

CM

求出即可．

解答：解：连接BD，过O作OM⊥AC于M，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AD=CD，
∴AB=BC，
∵BC切⊙O于B，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=∠ACB=45°，
∵OM⊥AC，
∴∠AMO=90°，
∴∠AOM=45°=∠A，
∴AM=OM，
设OM=AM=a，则AO=

a2+a2

=

2

a，
∴AB=BC=2ao=2

2

a，
由勾股定理得：AC=

(2 2 a)2+(2 2 a)2

=4a，
∴CM=4a-a=3a，
∴tan∠OCA=

OM

CM

=

a

3a

=

1

3

，
故选A．

点评：本题考查了等腰三角形性质和判定，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．