题目内容
设方程x2-x-1=0的两个根为a、b,求满足f(a)=b,f(b)=a,f(1)=1的二次函数f(x).
考点:抛物线与x轴的交点
专题:
分析:利用一元二次方程的根与系数的关系求得ab=-1,a+b=1,a2+b2=(a+b)2-2ab=3.根据题意知,二次函数经过点(a,b),(b,a),(1,1).把它们代入二次函数解析式f(x)=kx2+dx+c(k≠0),列出方程组,通过解方程组可以求得k、d、c的值.
解答:解:∵方程x2-x-1=0的两个根为a、b,
∴ab=-1,a+b=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=3.
设f(x)=kx2+dx+c(k≠0)
∵f(a)=b,f(b)=a,f(1)=1,
∴
,
由①-②,得(a+b)k+d=-1,即k+d=-1,④
由①+②,得k(a2+b2)+d(a+b)+2c=a+b,即3k+d+2c=1,⑤
把④代入③解得c=2.
则由⑤得3k+d=-3,⑥
由③⑥解得,k=-1,d=0.
故该二次函数是f(x)=-x2+2.
∴ab=-1,a+b=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=3.
设f(x)=kx2+dx+c(k≠0)
∵f(a)=b,f(b)=a,f(1)=1,
∴
|
由①-②,得(a+b)k+d=-1,即k+d=-1,④
由①+②,得k(a2+b2)+d(a+b)+2c=a+b,即3k+d+2c=1,⑤
把④代入③解得c=2.
则由⑤得3k+d=-3,⑥
由③⑥解得,k=-1,d=0.
故该二次函数是f(x)=-x2+2.
点评:本题考查函数的解析式的求解及其常用方法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
练习册系列答案
相关题目
若
=
,则3x-2y的值为( )
x |
y |
2 |
3 |
A、0 | B、1 | C、2 | D、3 |
下列根式中能与
合并的是( )
32 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|