题目内容

抛物线y=a（x+6）2-3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE2=3DE．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出所有符合条件的M的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）易知抛物线的顶点D（-6，-3），则DE=3，OE=6；
∵AE2=3DE=9，
∴AE=3，即A（-3，0）；
将A点坐标代入抛物线的解析式中，
得：a（-3+6）2-3=0，
即a=
1
3
，
即抛物线的解析式为：y=
1
3
（x+6）2-3=
1
3
x2+4x+9．


（2）设点P（-6，t），易知C（0，9）；
则PC的中点Q（-3，
9+t
2
）；
易知：PC=
36+(9-t)2
；
若以PC为斜边构造直角三角形，在x轴上的直角顶点只有一个时，以PC为直径的圆与x轴相切，即：
|
9+t
2
|=
1
2
36+(9-t)2
，
解得t=1，
故点P（-6，1），
当点P与点E重合时，由抛物线的解析式可知，A（-3，0），B（-9，0）．
所以P（-6，0），
故点P的坐标为（-6，1）或（-6，0），


（3）设点M（a，b）（a＜0，b＞0），分两种情况讨论：
①当NE=2DE时，NE=6，即N（-6，6），已知D（-6，-3），则有：
直线MN的斜率：k1=
b-6
a+6
，直线MD的斜率：k2=
b+3
a+6
；
由于MN⊥DM，则k1•k2=
(b-6)(b+3)
(a+6)2
=-1，
整理得：a2+b2+12a-3b+18=0…（△），
由抛物线的解析式得：
1
3
a2+4a+9=b，
整理得：a2+12a-3b+27=0…（□）；
（△）-（□）得：b2=9，即b=3（负值舍去），
将b=3代入（□）得：a=-6+3
2
，a=-6-3
2
，
故点M（-6+3
2
，3）或（-6-3
2
，3）；
②当2NE=DE时，NE=
3
2
，即N（-6，
3
2
），已知D（-6，-3），
则有：直线MN的斜率：k1=
b-
3
2
a+6
，直线DM的斜率：k2=
b+3
a+6
；
由题意得：k1•k2=
(b-
3
2
)(b+3)
(a+6)2
=-1，
整理得：a2+b2+
3
2
b+12a+
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2
=0，
而a2+12a-3b+27=0；两式相减，
得：2b2+9b+9=0，
解得b=-2，b=-
3
2
，（均不符合题意，舍去）；
综上可知：存在符合条件的M点，且坐标为：M（-6+3
2
，3）或（-6-3
2
，3）．
练习册系列答案
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如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（
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，
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），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．
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（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的三角形与△BOF相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．
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①求折痕AD所在直线的解析式；
②再作E'F∥AB，交AD于点F．若抛物线y=-
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x2+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数．
（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点D'、G'，使纸片沿D'G'翻折后，点O落在BC边上，记为E''．请你猜想：折痕D'G'所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想．
如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．
如图①，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点直线y=-x+3与y轴交于B点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为-1．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图①，在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交抛物线于Q点，若x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标；
（3）如图②，在抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y=-
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x2+x+3与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴相交于点F．
（1）求直线BC的解析式；
（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P
①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围；
②若r=
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，是否存在点P使⊙P与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
提示：抛物线y=ax2+bx+x（a≠0）的顶点坐标（-
b
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，
4ac-b2
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），对称轴x=-
b
2a
．
在平面直角坐标系中给定以下五个点A（-3，0），B（-1，4），C（0，3），D（
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，
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），E（1，0）．
（1）请从五点中任选三点，求一条以平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图．
某施工单位计划用地砖铺设正方形广场地面ABCD（如图所示），广场四角白色区域为正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都等于正方形的边长，阴影部分铺绿色地砖，其余部分铺白色地砖．已知
AB=100m，设小正方形的边长为xm．
（1）铺绿色地砖的面积为______m2；铺白色地砖的面积为______m2（用含x的代数式表示）；
（2）若铺绿色地砖的费用为每平方米20元，铺白色地砖的费用为每平方米30元，设铺广场地面的总费用为y元，求y关于x的函数解析式，并求所需的最低费用．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（经过原点）与x轴相交于N点，直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点，与抛物线相交于B（1，m）和C（2，2）两点．
（1）求直线与抛物线的表达式；
（2）求证：C点是△AOD的外心；
（3）若（1）中的抛物线，在x轴上方的部分，有一动点P（x，y），设∠PON=α．当sinα为何值时，△PON的面积有最大值？
（4）若P点保持（3）中运动路线，是否存在△PON，使得其面积等于△OCN面积的
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？若存在，求出动点P的位置；若不存在，请说出理由．

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