题目内容

如图，已知抛物线m的解析式为y=x2-4，与x轴交于A、C两点，B是抛物线m上的动点（B不与A、C重合），且B在x轴的下方，抛物线n与抛物线m关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．
（1）求证：点D一定在抛物线n上．
（2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由．
（3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F，而P是弧CF上一动点（不包括C、F两点），连接AP交y轴于N，连接EP交x轴于M．当P在运动时，四边形AEMN的面积是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明理由．
（1）证明：设n的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵n与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），m与n关于x轴对称，
∴m过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4），
∴
4a-2b+c=0
4a+2b+c=0
c=4

∴a=-1，b=0，c=4，
即n的解析式为y=-x2+4，
设点B（m，n）为m：y=x2-4上任意一点，则n=m2-4，
∵四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称，
∴B、D关于原点O对称，
∴点D的坐标为D（-m，-n）．
由式方程式可知，-n=-（m2-4）=-（-m）2+4，
即点D的坐标满足y=-x2+4，
∴点D在n上．

（2）?ABCD能为矩形．
过点B作BH⊥x轴于H，由点B在m：y=x2-4上，可设点B的坐标为（x0，x02-4），
则OH=|x0|，BH=|x02-4|．
易知，当且仅当BO=AO=2时，?ABCD为矩形．
在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x0|2+|x02-4|2=22，
（x02-4）（x02-3）=0，
∴x0=±2（舍去）、x0=±
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．（7分）
所以，当点B坐标为B（
3
，-1）或B′（-
3
，-1）时，?ABCD为矩形，
此时，点D的坐标分别是D（-
3
，1）、D′（
3
，1）．
因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′．

（3）设直线AB与y轴交于E，显然，△AOE∽△AHB，
∴
EO
AO
=
BH
AH
，
∴
EO
2
=
1
2+
3
．
∴EO=4-2
3
．
由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为
S=2S△ACE=2×
1
2
×AC×EO=2×
1
2
×4×（4-2
3
）=16-8
3
．即四边形AEMN的面积不改变，为16-8
3
．
练习册系列答案
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如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=-
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x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=-
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x2+bx+c交于第四象限的F点．
（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒
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个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．
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（1）求直线BC的解析式；
（2）若一抛物线与x轴的交点恰为⊙A与x轴的两个交点，且抛物线的顶点在直线上y=
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x+2
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上，求此抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上，并说明理由．
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①求折痕AD所在直线的解析式；
②再作E'F∥AB，交AD于点F．若抛物线y=-
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x2+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数．
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（2）求△ABC的面积；
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（3）如图②，在抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
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