题目内容

【题目】ABC内接于OBCO的直径,点DBC延长线上的一点,AD=AB,且∠ACB=2∠D,CD=2(如图1)

(1)求证:ADO的切线;

(2)AD=

(3)若点EO上的一点,AEBC交于点F,且点E等分半圆BC时(如图2),CF的长.

【答案】(1)详见解析;(2);(3)CF=.

【解析】

(1)连接OA,通过证明ADOA即可得出结论;

(2)易得OAC是等边三角形,可得CA=OC=OA=CD=2,由勾股定理得AD的长;

(3)FFHACH为垂足,设CH=x,在RtCFH中求得FH=RtAFH中,求得AH =AH+GH=2求得x的值,从而得出结论.

1)连结OA,

AD=AB

∴∠ B=D

∵∠ACB=2D

∴∠ACB=2B

BC是⊙O的直径,

∴∠BAC=90°

RtABC, B+ACB=90°,即∠B=30°,D=30°,BAD=120°

又∵OA=OB,

∴∠OAB=B=30°,

∴∠OAD=90°

ADOA

AD是⊙O的切线

(2)OA=OC, ACB =2D =60,OAC是等边三角形,

AC=OC

OAC =60,CAD =30=D,

CA=OC=OA=CD=2

RtOAD,

(3)过FFHACH为垂足

CH=x,在RtCFH中,∠ACF =60,FH=

RtAFH中,∠FAH =45,

AH=FH=

AC=CD=2,

CF=.

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