题目内容
【题目】△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上的一点,AD=AB,且∠ACB=2∠D,CD=2(如图1)
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)AD= ;
(3)若点E是⊙O上的一点,AE与BC交于点F,且点E等分半圆BC时(如图2),求CF的长.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)CF=
.
【解析】
(1)连接OA,通过证明AD⊥OA即可得出结论;
(2)易得△OAC是等边三角形,可得CA=OC=OA=CD=2,由勾股定理得AD的长;
(3)过F作FH⊥AC,H为垂足,设CH=x,在Rt△CFH中求得FH=,在Rt△AFH中,求得AH =
,由AH+GH=2求得x的值,从而得出结论.
(1)连结OA,
∵AD=AB,
∴∠ B=∠D
∵∠ACB=2∠D
∴∠ACB=2∠B
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°
在Rt△ABC中, ∠B+∠ACB=90°,即∠B=30°,∠D=30°,∠BAD=120°
又∵OA=OB,
∴∠OAB=∠B=30°,
∴∠OAD=90°
即AD⊥OA ,
∴AD是⊙O的切线
(2)∵OA=OC, ∠ACB =2∠D =60,△OAC是等边三角形,
∴AC=OC,
∠OAC =60,∠CAD =30=∠D,
∴CA=OC=OA=CD=2
在Rt△OAD中,
(3)过F作FH⊥AC,H为垂足,
设CH=x,在Rt△CFH中,∠ACF =60,FH=,
在Rt△AFH中,∠FAH =45,
∴AH=FH=,
又AC=CD=2,
∴,
,
∴CF=.

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