Question

如图1、2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于E，作PF⊥DC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G．
（1）在图1中，设正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，AP=x，求y关于x的函数表达式；
（2）结论：GB⊥EF对图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；
（3）请根据图2证明：△FGC∽△PFB．

Answer 1

（1）y=x²+2；(2)证明见解析；（3）证明见解析.

解析试题分析：（1）根据题意得出S_{四边形ABFE}=4﹣ED×DF﹣BC×FC进而得出答案；
（2）首先利用正方形的性质进而证明△FPE≌△BHP（SAS），即可得出△FPG∽△BPH，求出即可；
（3）首先得出△DPC≌△BPC（SAS），进而利用相似三角形的判定得出△FGC∽△PFB．
试题解析：（1）解：∵PE⊥AD，PF⊥DC，
∴四边形EPFD是矩形，
∵AP=x，
∴AE=EP=DF=x，
DE=PF=FC=2﹣x，
∴S_{四边形ABFE}=4﹣ED•DF﹣BC•FC=x²+2；
（2）证明：如图1，延长FP交AB于H，

∵PF⊥DC，PE⊥AD，
∴PF⊥PE，PH⊥HB，
即∠BHP=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠DAB，
∴可得PF=FC=HB，EP=PH，
在△FPE与△BHP中
，
∴△FPE≌△BHP（SAS），
∴∠PFE=∠PBH，
又∵∠FPG=∠BPH，
∴△FPG∽△BPH，
∴∠FGP=∠BHP=90°，
即GB⊥EF；
（3）证明：如图2，连接PD，

∵GB⊥EF，
∴∠BPF=∠CFG①，
在△DPC和△BPC中
，
∴△DPC≌△BPC（SAS），
∴PD=PB，
而PD=EF，∴EF=PB，
又∵GB⊥EF，
∴PF²=FG•EF，
∴PF²=FG•PB，
而PF=FC，
∴PF•FC=FG•PB，
∴②，
∴由①②得△FGC∽△PFB．
考点：四边形综合题．