Question

在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），已知抛物线y=x²+bx+c过点A（4，0），B（1，﹣3）．
（1）求b，c的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）设抛物线的对称轴为直线l，点P（m，n）是抛物线上在第一象限的点，点E与点P关于直线l对称，点E与点F关于y轴对称，若四边形OAPF的面积为48，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，设M是直线l上任意一点，试判断MP+MA是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）b=﹣4，c=0，抛物线的对称轴为x=2，顶点为（2，﹣4）．
（2）点P的坐标为（6，12）．
（3）存在，最小值为6．

解析试题分析：（1）用待定系数法就可求出b和c，再将解析式配成顶点式，就可以了．
（2）根据已知条件可得E（4﹣m，n）、F（m﹣4，n），从而得到PF=4，再由四边形OAPF的面积为48可求出点P的纵坐标，然后代入抛物线的解析式就可求出点P的坐标．
（3）根据点E与点P关于直线l对称可得MP=ME，则有MP+MA=ME+MA，再由“两点之间线段最短”可得AE的长就是MP+MA的最小值，运用勾股定理就可解决问题．
试题解析：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点A（4，0），B（1，﹣3），
∴．
解得：．
∴y=x²﹣4x=（x﹣2）²﹣4．
∴抛物线的对称轴为x=2，顶点为（2，﹣4）．
（2）如图1，

∵点P（m，n）与点E关于直线x=2对称，
∴点E的坐标为（4﹣m，n）．
∵点E与点F关于y轴对称，
∴点F的坐标为（m﹣4，n）．
∴PF=m﹣（m﹣4）=4．
∴PF=OA=4．
∵PF∥OA，
∴四边形OAPF是平行四边形．
∵S_?OAPF=OA•=4n=48，
∴n=12．
∴m²﹣4m=n=12．
解得：m₁=6，m₂=﹣2．
∵点P是抛物线上在第一象限的点，
∴m=6．
∴点P的坐标为（6，12）．
（3）过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2，

在（2）的条件下，有P（6，12），E（﹣2，12），
则AH=4﹣（﹣2）=6，EH=12．
∵EH⊥x轴，即∠EHA=90°，
∴EA²=EH²+AH²=12²+6²=180．
∴EA=6．
∵点E与点P关于直线l对称，
∴MP=ME．
∴MP+MA=ME+MA．
根据“两点之间线段最短”可得：
当点E、M、A共线时，MP+MA最小，最小值等于EA的长，即6．
考点：1、待定系数法；2、线段的性质；3、勾股定理；4、关于x轴、y轴对称的点的坐标．.