Question

【题目】如图，已知为的直径，为的一条弦，是外一点，且，垂足为，交于点和点，连接．

（1）求证：；

（2）若，求证：是的切线；

（3）连接，若，．

①设，用含的代数式表示；

②求的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②的半径为5．

【解析】

（1）依据直径所对的圆周角是直角，及同位角相等，两直线平行即可得证.

（2）连接，在等腰中，依据三线合一得到，依据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，结合，得到，从而，由因为，等量代换可得，即，根据切线的判定即可得证.

（3）①由是直径，依据直径所对的圆周角为直角，得，由同角的余角相等得，继而，最后依据正切的定义即可表示出，相加即为.

②用x表示出、半径，由三线合一得是的中点，是的中位线，即可建立关于x的方程，解出即可得到半径.

（1）是直径，

，

，

，

，

；

（2）连接.

，,

，是的中点，

，，

，

，

又∵在中，，

，即，

，

是的切线；

（3）①在中，，

.

，

.

是直径，，

∴，

，

，

，

；

②由①得，

,

是的中点，是的中点，，

，解得，

，即的半径为5.