题目内容

如图1、2，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，若M（0，1），过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；
（3）如图2，抛物线顶点为K，KI⊥x轴于I点，一块三角板直角顶点P在线段KI上滑动，且一直角边过A点，另一直角边与x轴交于Q（m，0），请求出实数m的变化范围，并说明理由．
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），
∴
a-b+3=0
9a+3b+3=0
，
解得
a=-1
b=2
．
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．

（2）当直角梯形EFGH运动到E′F′G′H′时，过点F′作F′N⊥x轴于点N，延长E′H’交x轴于点P．
∵点M的坐标为（0，1），点A是抛物线与y轴的交点，
∴点A的坐标为（0，3）．
∵OA=3，OD=4，
∴AD=5．
∵E′H′∥OM，E′H′=OM=1，
∴四边形E′H′OM是平行四边形（当E′H′不与y轴重合时）．
∵F′N∥y轴，NG′∥x轴，
∴△F′ND∽△AOD．
∴
F′N
AO
=
ND
OD
=
F′D
AD
．
∵直角梯形E′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射线DA方向平移得到的，
∴F′D=t，
∴
F′N
3
=
ND
4
=
t
5
．
∴F′N=
3t
5
，ND=
4t
5
．
∵E′F′=PN=1，
∴OP=OD-PN-ND=4-1-
4t
5
=3-
4t
5
．
∵E′P=F′N=
3t
5
，E′H′=1，
∴H′P=
3t
5
-1．
若平行四边形E′H′OM是矩形，则∠MOH′=90°，此时H′G′与x轴重合．
∵F′D=t，
∴F′N=
3t
5
=1，即t=
5
3
．
即当t=
5
3
秒时，平行四边形EHOM是矩形．
若平行四边形E′H′OM是菱形，则OH′=1．
在Rt△H′OP中，OP2+H′P2=OH′2，即(3-
4t
5
)2+(
3t
5
-1)2=12
得t2-6t+9=0，解得t1=t2=3．
即当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱形．
综上所述，当t=
5
3
秒时，平行四边形EHOM是矩形，当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱形．

（3）过A作AR⊥KI于R点，则AR=KR=1．
当Q在KI左侧时，△ARP∽△PIQ．
设PI=n，则RP=3-n，
∴
1-m
3-n
=
n
1
，即n2-3n-m+1=0，
∵关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，
得m≥-
5
4
；
当Q在KI右侧时，
Rt△APQ中，AR=RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5．即P为点K时，
∴m≤5．
综上所述，m的变化范围为：-
5
4
≤m≤5．
练习册系列答案
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我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，-3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则经过点D的“蛋圆”的切线的解析式为______．
如图，直线y=-
3
4
x经过抛物线y=ax2+8ax-3的顶点M，点P（x，y）是抛物线上的动点，点Q是抛物线对称轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PQ∥OM时，设线段PQ的长为d，求d关于x的函数解析式；
（3）当以P、Q、O、M四点为顶点的四边形是平行四边形时，求P、Q两点的坐标．
二次函数y=
2
3
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2
3
x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A0B1A1的边长=______，△A2010B2011A2011的边长=______．
如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y=
1
6
x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；
（2）点Q（8，m）在抛物线y=
1
6
x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
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正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（　　）
A．B．C．D．
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
5
6
x2+
13
6
x+c与y轴交于点D，与x轴负半轴交于点B（-1，0），直线y=
1
2
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9
2
）．

（1）求抛物线的函数关系式；
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