题目内容
如图1、2，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，若M（0，1），过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；
（3）如图2，抛物线顶点为K，KI⊥x轴于I点，一块三角板直角顶点P在线段KI上滑动，且一直角边过A点，另一直角边与x轴交于Q（m，0），请求出实数m的变化范围，并说明理由．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，若M（0，1），过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；
（3）如图2，抛物线顶点为K，KI⊥x轴于I点，一块三角板直角顶点P在线段KI上滑动，且一直角边过A点，另一直角边与x轴交于Q（m，0），请求出实数m的变化范围，并说明理由．
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），
∴
，
解得
．
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）当直角梯形EFGH运动到E′F′G′H′时，过点F′作F′N⊥x轴于点N，延长E′H’交x轴于点P．
∵点M的坐标为（0，1），点A是抛物线与y轴的交点，
∴点A的坐标为（0，3）．
∵OA=3，OD=4，
∴AD=5．
∵E′H′∥OM，E′H′=OM=1，
∴四边形E′H′OM是平行四边形（当E′H′不与y轴重合时）．
∵F′N∥y轴，NG′∥x轴，
∴△F′ND∽△AOD．
∴
=
=
．
∵直角梯形E′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射线DA方向平移得到的，
∴F′D=t，
∴
=
=
．
∴F′N=
，ND=
．
∵E′F′=PN=1，
∴OP=OD-PN-ND=4-1-
=3-
．
∵E′P=F′N=
，E′H′=1，
∴H′P=
-1．
若平行四边形E′H′OM是矩形，则∠MOH′=90°，此时H′G′与x轴重合．
∵F′D=t，
∴F′N=
=1，即t=
．
即当t=
秒时，平行四边形EHOM是矩形．
若平行四边形E′H′OM是菱形，则OH′=1．
在Rt△H′OP中，OP2+H′P2=OH′2，即(3-
)2+(
-1)2=12
得t2-6t+9=0，解得t1=t2=3．
即当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱形．
综上所述，当t=
秒时，平行四边形EHOM是矩形，当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱形．
（3）过A作AR⊥KI于R点，则AR=KR=1．
当Q在KI左侧时，△ARP∽△PIQ．
设PI=n，则RP=3-n，
∴
=
，即n2-3n-m+1=0，
∵关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，
得m≥-
；
当Q在KI右侧时，
Rt△APQ中，AR=RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5．即P为点K时，
∴m≤5．
综上所述，m的变化范围为：-
≤m≤5．
∴
|
解得
|
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）当直角梯形EFGH运动到E′F′G′H′时，过点F′作F′N⊥x轴于点N，延长E′H’交x轴于点P．
∵点M的坐标为（0，1），点A是抛物线与y轴的交点，∴点A的坐标为（0，3）．
∵OA=3，OD=4，
∴AD=5．
∵E′H′∥OM，E′H′=OM=1，
∴四边形E′H′OM是平行四边形（当E′H′不与y轴重合时）．
∵F′N∥y轴，NG′∥x轴，
∴△F′ND∽△AOD．
∴
| F′N |
| AO |
| ND |
| OD |
| F′D |
| AD |
∵直角梯形E′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射线DA方向平移得到的，
∴F′D=t，
∴
| F′N |
| 3 |
| ND |
| 4 |
| t |
| 5 |
∴F′N=
| 3t |
| 5 |
| 4t |
| 5 |
∵E′F′=PN=1，
∴OP=OD-PN-ND=4-1-
| 4t |
| 5 |
| 4t |
| 5 |
∵E′P=F′N=
| 3t |
| 5 |
∴H′P=
| 3t |
| 5 |
若平行四边形E′H′OM是矩形，则∠MOH′=90°，此时H′G′与x轴重合．
∵F′D=t，
∴F′N=
| 3t |
| 5 |
| 5 |
| 3 |
即当t=
| 5 |
| 3 |
若平行四边形E′H′OM是菱形，则OH′=1．
在Rt△H′OP中，OP2+H′P2=OH′2，即(3-
| 4t |
| 5 |
| 3t |
| 5 |
得t2-6t+9=0，解得t1=t2=3．
即当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱形．
综上所述，当t=
| 5 |
| 3 |
（3）过A作AR⊥KI于R点，则AR=KR=1．当Q在KI左侧时，△ARP∽△PIQ．
设PI=n，则RP=3-n，
∴
| 1-m |
| 3-n |
| n |
| 1 |
∵关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，
得m≥-
| 5 |
| 4 |
当Q在KI右侧时，
Rt△APQ中，AR=RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5．即P为点K时，
∴m≤5．
综上所述，m的变化范围为：-
| 5 |
| 4 |
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是抛物线对称轴上的动点．
物线y=
