题目内容

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，
9
2
）．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）如图①，设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）如图②，连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连结CE，记△CEF的面积为S，求出S的最大值及此时E点的坐标．
（1）因为抛物线的顶点为（1，
9
2
），
所以设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）2+
9
2
，
∵抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴a（0-1）2+
9
2
=4．
解得：a=-
1
2
．
∴所求抛物线的函数关系式为y=-
1
2
（x-1）2+
9
2
．

（2）如图①，过点C作CE⊥对称轴于点E，
当CD=CP1时，∵点C（0，4），顶点为（1，
9
2
），
∴CD=
42+12
=
17
，DE=4，
∴CP1=
17
，EP1=4，
∴P1的坐标为：（1，8），
当CD=DP2时，P2的坐标为：（1，
17
），
当CP3=DP3时，
设CP3=DP3=y，
∴CE2+EP
23
=CP
23
，
∴1+（4-y）2=y2，
解得：y=
17
8
，
∴P3的坐标为：（1，
17
8
），
当CD=DP4时，
P4的坐标为：（1，-
17
），
综上所述：符合条件的所有P点坐标是：
（1，
17
），（1，-
17
），（1，8），（1，
17
8
）；

（3）令-
1
2
（x-1）2+
9
2
=0，
解得：x1=-2，x2=4，．
∴抛物线y=-
1
2
（x-1）2+
9
2
与x轴的交点为A（-2，0），B（4，0）．
过点F作FM⊥OB于点M．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
MF
CO
=
EB
AB
．
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=
BE
AB
×CO=
2
3
EB．
设E点坐标（x，0），则EB=4-x．MF=
2
3
（4-x），
∴S=S△BCE-S△BEF=
1
2
EB•CO-
1
2
EB•MF，
=
1
2
EB（OC-MF）=
1
2
（4-x）[4-
2
3
（4-x）]
=-
1
3
x2+
2
3
x+
8
3
=-
1
3
（x-1）2+3．
Qa=-
1
3
＜0，
∴S有最大值．
当x=1时，S最大值=3．
此时点E的坐标为（1，0）．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴相交于A，B两点，直线AB的函数表达式为y=-
3
4
x-6，圆M经过原点O，A，B三点．
（1）求出A，B的坐标；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上且抛物线经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）如图，设（2）中求得的开口向下的抛物线交x轴于D、E两点，抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=
1
10
S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1、2，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，若M（0，1），过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；
（3）如图2，抛物线顶点为K，KI⊥x轴于I点，一块三角板直角顶点P在线段KI上滑动，且一直角边过A点，另一直角边与x轴交于Q（m，0），请求出实数m的变化范围，并说明理由．
某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．
（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）件的函数关系式；
（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
某建筑物的窗口如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m，当半圆的半径为多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少（结果精确到0.01m）？
如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+2.6．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m．
（1）求y与x的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
如图1，四边形ABCD是边长为5的正方形，以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．抛物线y=ax2经过A，O，D三点，图2和图3是把一些这样的小正方形及其内部的抛物线部分经过平移和对称变换得到的．
（1）求a的值；
（2）求图2中矩形EFGH的面积；
（3）求图3中正方形PQRS的面积．
当路况良好时，在干燥的路面上，汽车的刹车距离s与车速v之间的关系如下表所示：
v/（km/h）406080100120
s/m24.27.21115.6
（1）在平面直角坐标系中描出每对（v，s）所对应的点，并用光滑的曲线顺次连接各点；
（2）利用图象验证刹车距离s（m）与车速v（km/h）是否有如下关系：s=
1
1000
v2+
1
100
v0；
（3）求当s=9m时的车速v．
如图1，点C、B分别为抛物线C1：y1=x2+1，抛物线C2：y2=a2x2+b2x+c2的顶点．分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，且AB=BD．
（1）求点A的坐标：
（2）如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”．其他条件不变，求CD的长和a2的值；
（3）如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=4x2+b1x+c1”，其他条件不变，求b1+b2的值______（直接写结果）．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网