Question

二次函数y=

2

3

x2的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₁在y轴的正半轴上，点B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₁在二次函数y=

2

3

x2位于第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁都为等边三角形，则△A₀B₁A₁的边长=______，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的边长=______．

Answer 1

作B₁A⊥y轴于A，B₂B⊥y轴于B，B₃C⊥y轴于C．
设等边△A₀B₁A₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃中，AA₁=a，BA₂=b，CA₂=c．
①等边△A₀B₁A₁中，A₀A=a，
所以B₁A=atan60°=

3

a，代入解析式得

2

3

×（

3

a）²=a，解得a=0（舍去）或a=

1

2

，于是等边△A₀B₁A₁的边长为

1

2

×2=1；
②等边△A₁B₂A₂中，A₁B=b，
所以BB₂=btan60°=

3

b，B₂点坐标为（

3

b，1+b）代入解析式得

2

3

×（

3

b）²=1+b，
解得b=-

1

2

（舍去）或b=1，
于是等边△A₁B₂A₂的边长为1×2=2；
③等边△A₂B₃A₃中，A₂C=c，
所以CB₃=btan60°=

3

c，B₃点坐标为（3c，3+c）代入解析式得

2

3

×（

3

c）²=3+c，
解得c=-1（舍去）或c=

3

2

，
于是等边△A₂B₃A₃的边长为

3

2

×2=3．
于是△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的边长为2011．