题目内容

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
5
6
x2+
13
6
x+c与y轴交于点D，与x轴负半轴交于点B（-1，0），直线y=
1
2
x+b与抛物线交于A、B两点．作△ABD的外接圆⊙M交x轴正半轴于点C，连结CD交AB于点E．
（1）求b、c的值；
（2）求：①点A的坐标；②∠AEC的正切值；
（3）将△BOD绕平面内一点旋转90°，使得该三角形的对应顶点中的两个点落在已知抛物线上（如图2），请直接写出旋转中心的坐标．
（1）∵一次函数y=
1
2
x+b的图象经过点B（-1，0），
∴0=
1
2
×（-1）+b，
解得b=
1
2
；
∵抛物线y=-
5
6
x2+
13
6
x+c经过点B（-1，0），
∴0=-
5
6
×（-1）2+
13
6
×（-1）+c，
解得c=3；

（2）①
1
2
x+
1
2
=-
5
6
x2+
13
6
x+3，
化简得x2-2x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3．
当x=3时，y=2，
∴A（3，2）；
②如图1，过点A作AH⊥y轴于H．
∵A（3，2），B（-1，0），D（0，3），
∴在△ABD中，AB2=（-1-3）2+（0-2）2=20，AD2=（0-3）2+（3-2）2=10，DB2=（-1-0）2+（0-3）2=10，
∴AB2=AD2+DB2，AD=DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，
∵△ABD的外接圆⊙M交x轴正半轴于点C，
∴AB为⊙M的直径，∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，
又∵∠BDC=∠BAC，
∴△DBC∽△AEC，
∴∠DBC=∠AEC，
∴tan∠AEC=tan∠DBC=
OD
OB
=
3
1
=3；

（3）分为3种情况，①旋转后OD在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BD在抛物线上．
1、旋转后OD在抛物线上：
设为O′D′，则O′D′平行于x轴，抛物线y=-
5
6
x2+
13
6
x+3=-
5
6
（x-
13
10
）2+
529
120
，对称轴x=
13
10
，
则x1=
13
10
-
1
2
|OD|=
13
10
-
3
2
=-
1
5
，x2=
13
10
+
3
2
=
14
5
，
则两点为（-
1
5
，
38
15
）、（
14
5
，
38
15
）．
这时分别：①O′（-
1
5
，
38
15
）、D′（
14
5
，
38
15
）；②O′（
14
5
，
38
15
）、D′（-
1
5
，
38
15
），此时O′D′=3．
设旋转中心P点的坐标为（x，y）．
①如果O′（-
1
5
，
38
15
）、D′（
14
5
，
38
15
），由题意，得
x+y=
38
15
y-x=
1
5
，解得
x=
7
6
y=
41
30
，
此时旋转中心P1为（
7
6
，
41
30
）；
②如果O′（
14
5
，
38
15
）、D′（-
1
5
，
38
15
），由题意，得
y-x=
38
15
x+
1
5
=3-
38
15
-x
，解得
x=
2
15
y=
8
3
，
此时旋转中心P2为（
2
15
，
8
3
）；
2、旋转后OB在抛物线上：
由于OB⊥y轴，则O′B′⊥x轴，此时显然不成立；
3、旋转后BD在抛物线上：
BD边旋转90°后所得线段B′D′与BD垂直，直线斜率kBD=3，则kB′D′=-
1
3
．
设旋转后B′D′所在直线方程为：y=-
1
3
x+m，
与抛物线：y=-
5
6
x2+
13
6
x+3联立，解方程组，得：
x=
15+
585-120m
10
y=
-15-
585-120m
+30m
30
或
x=
15-
585-120m
10
y=
-15+
585-120m
+30m
30
，此为两个交点的坐标．
∵B′D′=BD=
10
，
∴（
15-
585-120m
10
-
15+
585-120m
10
）2+（
-15+
585-120m
+30m
30
-
-15-
585-120m
+30m
30
）2=10，
整理，得585-120m=225，
解得m=3，
∴两点坐标：（3，2），（0，3）．
①如果B′（3，2），D′（0，3），则D′与D重合，所以此时旋转中心为P3（0，3）；
②如果D′（3，2），B′（0，3），则此时旋转中心为P4（1，1）．
综上可知，旋转中心为（0，3）、（1，1）、（
7
6
，
41
30
）、（
2
15
，
8
3
）．
练习册系列答案
相关题目
已知：抛物线y=ax2+bx+4的对称轴为x=-1，且与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的坐标为（-3，0），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是梯形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系内有两点A（-2，0），B（
1
2
，0），CB所在直线为y=2x+b，
（1）求b与C的坐标；
（2）连接AC，求证：△AOC∽△COB；
（3）求过A，B，C三点且对称轴平行于y轴的抛物线解析式；
（4）在抛物线上是否存在一点P（不与C重合），使得S△ABP=S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）求此抛物线的解析式；
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（3）如图2，抛物线顶点为K，KI⊥x轴于I点，一块三角板直角顶点P在线段KI上滑动，且一直角边过A点，另一直角边与x轴交于Q（m，0），请求出实数m的变化范围，并说明理由．
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1
a
yH．
如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2
3
），C（0，2
3
），点P在线段OA上（不与O、A重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A’），折痕PQ与射线AB交于点Q，设OP=x，折叠后纸片重叠部分的面积为y．（图②供探索用）
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（2）求y与x的函数关系式，并写出对应的x的取值范围；
（3）y存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时x的值；若不存在，说明理由．
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（1）求y与x的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．

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