题目内容
如图所示，在⊙O中，
=
，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB•AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
 |
| AD |
|
| AC |
（1）求证：AC2=AB•AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
（1）证明：∵
=
，
∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴
=
，即AC2=AB•AF；
（2）连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
如图所示：
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，
又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=
×120°=60°，
在Rt△AOE中，OA=2cm，
∴OE=OAcos60°=1cm，
∴AE=
=
cm，
∴AC=2AE=2
cm，
则S阴影=S扇形OAC-S△AOC=
-
×2
×1=（
-
）cm2．
|
| AD |
|
| AC |
∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴
| AC |
| AB |
| AF |
| AC |
（2）连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
如图所示：
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=
| 1 |
| 2 |
在Rt△AOE中，OA=2cm，
∴OE=OAcos60°=1cm，
∴AE=
| OA2-OE2 |
| 3 |
∴AC=2AE=2
| 3 |
则S阴影=S扇形OAC-S△AOC=
| 120π•22 |
| 360 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| 3 |
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