题目内容
【题目】问题情境:
在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如 图 1,将:矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 剪开,得到△ABC 和△ACD.并且量得 AB =4cm,AC=8cm.
操作发现:
(1)将图 1 中的△ACD 以点 A 为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图 2 所示的△AC′D,过点 C 作 AC′的平行线,与 DC'的延长线 交于点 E,则四边形 ACEC′的形状是 .
(2)创新小组将图 1 中的△ACD 以点 A 为旋转中心,按逆时针方向旋转,使 B、 A、D 三点在同一条直线上,得到如图 3 所示的△AC′D,连接 CC',取 CC′的中 点 F,连接 AF 并延长至点 G,使 FG=AF,连接 CG、C′G,得到四边形 ACGC′, 发现它是正方形,请你证明这个结论.
实践探究:
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC 沿着 BD 方向平移,使点 B 与点 A 重合,此时 A 点平移至 A'点,A'C 与 BC′相交于点 H, 如图 4 所示,连接 CC′,试求 tan∠C′CH 的值.
【答案】(1)菱形;(2)见解析;(3)tan∠C′CH=.
【解析】
(1)根据可以得到
,再结合
可以得到
,而已知
可以得到四边形
为平行四边形,由于旋转,所以
,从而得到四边形
为菱形;
(2)根据可以得到四边形
为平行四边形,而
,所以四边形
为菱形,那么只需要再证明一个直角即可,当
、
、
三点共线时:
,而根据旋转的性质,
,可以得到:
,从而证到四边形
为正方形;
(3)结合第二问可以得到,所以要求
,就可以分别求出
和
得长度,由题意可以得到
,那么
,结合三角函数分别就可以分别求出
和
;
(1)菱形,理由如下:
由旋转的性质可得:
,即
又
四边形
为平行四边形
由旋转的性质可得:
四边形
为菱形;
(2)正方形,理由如下:
四边形
为平行四边形
又
四边形
为菱形
当、
、
三点共线时:
由旋转的性质得:
四边形
为正方形;
(3)在中,AB=4,AC=8,
由(2)结合平移知,
在中,
在中,
;
