题目内容

【题目】问题情境:

在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如 1,将:矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 剪开,得到△ABC 和△ACD.并且量得 AB 4cmAC8cm

操作发现:

1)将图 1 中的△ACD 以点 A 为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图 2 所示的△ACD,过点 C AC′的平行线,与 DC'的延长线 交于点 E,则四边形 ACEC′的形状是

2)创新小组将图 1 中的△ACD 以点 A 为旋转中心,按逆时针方向旋转,使 B AD 三点在同一条直线上,得到如图 3 所示的△ACD,连接 CC',取 CC′的中 F,连接 AF 并延长至点 G,使 FGAF,连接 CGCG,得到四边形 ACGC′, 发现它是正方形,请你证明这个结论.

实践探究:

3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC 沿着 BD 方向平移,使点 B 与点 A 重合,此时 A 点平移至 A'点,A'C BC′相交于点 H 如图 4 所示,连接 CC′,试求 tanCCH 的值.

【答案】1)菱形;(2)见解析;(3tan∠C′CH

【解析】

1)根据可以得到,再结合可以得到,而已知可以得到四边形为平行四边形,由于旋转,所以,从而得到四边形为菱形;

(2)根据可以得到四边形为平行四边形,而,所以四边形为菱形,那么只需要再证明一个直角即可,当三点共线时:,而根据旋转的性质,,可以得到:

,从而证到四边形为正方形;

3)结合第二问可以得到,所以要求,就可以分别求出得长度,由题意可以得到,那么,结合三角函数分别就可以分别求出

1)菱形,理由如下:

由旋转的性质可得:

,即

四边形为平行四边形

由旋转的性质可得:

四边形为菱形;

2)正方形,理由如下:

四边形为平行四边形

四边形为菱形

三点共线时:

由旋转的性质得:

四边形为正方形;

3)在中,AB4AC8

由(2)结合平移知,

中,

中,;

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