Question

【题目】已知点P为抛物线yx2上一动点，以P为顶点，且经过原点O的抛物线，记作“yp”，设其与x轴另一交点为A，点P的横坐标为m．

（1）①当△OPA为直角三角形时，m=　　　　；

②当△OPA为等边三角形时，求此时“yp”的解析式；

（2）若P点的横坐标分别为1，2，3，…n(n为正整数)时，抛物线“yp”分别记作“”、“”…，“”，设其与x轴另外一交点分别为A1，A2，A3，…An，过P1，P2，P3，…Pn作x轴的垂线，垂足分别为H1，H2，H3，…Hn．

　1)① Pn的坐标为　　　　；OAn=　　　　；(用含n的代数式来表示)

②当PnHn﹣OAn=16时，求n的值．

　2)是否存在这样的An，使得∠OP4An=90°，若存在，求n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）① 2；② yx2+2x；（2）1)：① (n，n2)；2n；② n=8；2)：存在，n=10．

【解析】

（1）①由△OPA为直角三角形时．得到△OPA为以点P为顶点的等腰直角三角形，从而可得答案，②由△OPA为等边三角形，过P作于，利用三角函数与抛物线的解析式，求点的坐标，从而可得答案，

（2）1)①利用Pn的横坐标为n，结合抛物线的对称性可得答案，②由 PnHn﹣OAn=16，建立方程求解即可，2) 画出图形，证明Rt△OP4H4∽Rt△P4AnH4即可得到答案．

解：（1）①当△OPA为直角三角形时．

∵PO=PA，故△OPA为以点P为顶点的等腰直角三角形，

∴点P的横坐标和纵坐标相同，故点P(m，m)，

将点P的坐标代入yx2得：mm2，解得：m=0或2(舍去0)．

故答案为：2；

②当△OPA为等边三角形时，如图，过P作于，

P(m，m)，

将点P的坐标代入抛物线表达式,

解得：m=2，

故点P的坐标为(2，6)，

故“yp”的解析式为：y=a(x﹣2)2+6，

点A的坐标为(2m，0)，即(4，0)，

将点A的坐标代入y=a(x﹣2)2+6并解得：a，

故“yp”的解析式为：y(x﹣2)2+6x2+2x；

（2）1)①　由题意得：Pn的横坐标为n，则其坐标为(n，n2)，

由抛物线的对称性得：An=2n．

故答案为：(n，n2)；2n；

②由题意得：PnHn﹣OAnn2﹣2n=16，

解得：n=8或﹣4(舍去﹣4)，

∴n=8；

　2)存在，理由：

如下图所示，由1)知，点P4的坐标为(4，8)，An=2n，

即OH4=4，P4H4=8，H4An=2n﹣4，

∵∠OP4An=90°，∴∠OP4H4+∠H4P4An=90°．

∵∠H4P4An+∠P4AnH4=90°，

∴∠OP4H4=∠P4AnH4，

∴Rt△OP4H4∽Rt△P4AnH4，

∴P4H42=OH4H4An，

即82=4×(2n﹣4)，

解得：n=10．

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