题目内容

【题目】模型介绍:古希腊有一个著名的“将军饮马问题”,大致内容如下:古希腊一位将军,每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B,他总是先去A营,再到河边饮马,之后再去B营,如图 ①,他时常想,怎么走才能使每天的路程之和最短呢?
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题

如图②,作B关于直线l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,点C就是所求的位置.
请你在下列的阅读、应用的过程中,完成解答.
(1)理由:如图③,在直线L上另取任一点C′,连接AC′,BC′,B′C′,
∵直线l是点B,B′的对称轴,点C,C′在l上
∴CB= , C′B=
∴AC+CB=AC+CB′=
在△AC′B′中,∵AB′<AC′+C′B′,∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小
归纳小结:
本问题实际是利用轴对称变换的思想,把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短”,即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C为AB′与l的交点,即A、C、B′三点共线).
本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型.
(2)模型应用
如图 ④,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,F是AC上一动点.
求EF+FB的最小值
分析:解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B与D关于直线AC对称,连结ED交AC于F,则EF+FB的最小值就是线段的长度,EF+FB的最小值是

如图⑤,已知⊙O的直径CD为4,∠AOD的度数为60°,点B是 的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值是
如图⑥,一次函数y=﹣2x+4的图象与x,y轴分别交于A,B两点,点O为坐标原点,点C与点D分别为线段OA,AB的中点,点P为OB上一动点,求:PC+PD的最小值,并写出取得最小值时P点坐标.

【答案】
(1)CB';C'B';AB'
(2)DE;;2
【解析】解:(1)理由:如图③,在直线L上另取任一点C′,连接AC′,BC′,B′C′,
∵直线l是点B,B′的对称轴,点C,C′在l上
∴CB=CB',C′B=C'B'
∴AC+CB=AC+CB′=AB'.
在△AC′B′中,∵AB′<AC′+C′B′,∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小
所以答案是:CB',C'B',AB';(2)模型应用
①解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B与D关于直线AC对称,连结ED交AC于F
则EF+FB的最小值就是线段DE的长度,EF+FB的最小值是
在正方形ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=90°
∵点E是AB中点,
∴AE=1,
根据勾股定理得,DE=
即:EF+FB的最小值
所以答案是:DE,
②如图⑤,

由圆的对称性可知,A与A'关于直径CD对称,连结A'B交CD于F,则AE+EB的最小值就是线A'BE的长度,
∴∠AOD=∠A'OD=60°
∵点B是 的中点,
∴∠AOB=∠BOD= ∠AOD=30°,
∴∠A'OB=90°
∵⊙O的直径为4,
∴OA=OA'=OB=2,
在Rt△A'OB中,A'B=2
∴BP+AP的最小值是2
所以答案是2
③如图⑥,

由平面坐标系中的对称性可知,C与C'关于直径y轴对称,连结C'D交y轴于P,则PC+PD的最小值就是线C'D的长度,
∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x,y轴分别交于A,B两点,
∴A(2,0),B(0,4),
∴C(1,0),D(1,2),
∵C与C'关于直径y轴对称,
∴C'(﹣1,0),
∴C'D= =2
∴PC+PD的最小值为2
∵C'(﹣1,0),D(1,2),
∴直线C'D的解析式为y=x+1,
∴P(0,1).
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念,需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案.

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