题目内容

【题目】如图,在射线BA,BC,AD,CD围成的菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6 ,O是射线BD上一点,⊙O与BA,BC都相切,与BO的延长线交于点M.过M作EF⊥BD交线段BA(或射线AD)于点E,交线段BC(或射线CD)于点F.以EF为边作矩形EFGH,点G,H分别在围成菱形的另外两条射线上.
(1)求证:BO=2OM.
(2)设EF>HE,当矩形EFGH的面积为24 时,求⊙O的半径.
(3)当HE或HG与⊙O相切时,求出所有满足条件的BO的长.

【答案】
(1)

证明:如图1所示:设⊙O切AB于点P,连接OP,则∠OPB=90°.

∵四边形ABCD为菱形,

∴∠ABD= ∠ABC=30°.

∴OB=2OP.

∵OP=OM,

∴BO=2OP=2OM.


(2)

解:如图2所示:设GH交BD于点N,连接AC,交BD于点Q.

∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD.

∴BD=2BQ=2ABcos∠ABQ= AB=18.

设⊙O的半径为r,则OB=2r,MB=3r.

∵EF>HE,

∴点E,F,G,H均在菱形的边上.

①如图2所示,当点E在AB上时.

在Rt△BEM中,EM=BMtan∠EBM= r.

由对称性得:EF=2EM=2 r,ND=BM=3r.

∴MN=18﹣6r.

∴S矩形EFGH=EFMN=2 r(18﹣6r)=24

解得:r1=1,r2=2.

当r=1时,EF<HE,

∴r=1时,不合题意舍

当r=2时,EF>HE,

∴⊙O的半径为2.

∴BM=3r=6.

如图3所示:

当点E在AD边上时.BM=3r,则MD=18﹣3r.

由对称性可知:NB=MD=6.

∴MB=3r=18﹣6=12.

解得:r=4.

综上所述,⊙O的半径为2或4.


(3)

解:解设GH交BD于点N,⊙O的半径为r,则BO=2r.

当点E在边BA上时,显然不存在HE或HG与⊙O相切.

①如图4所示,点E在AD上时.

∵HE与⊙O相切,

∴ME=r,DM= r.

∴3r+ r=18.

解得:r=9﹣3

∴OB=18﹣6

②如图5所示;

由图形的对称性得:ON=OM,BN=DM.

∴OB= BD=9.

③如图6所示.

∵HG与⊙O相切时,MN=2r.

∵BN+MN=BM=3r.

∴BN=r.

∴DM= FM= GN=BN=r.

∴D与O重合.

∴BO=BD=18.

④如图7所示:

∵HE与⊙O相切,

∴EM=r,DM= r.

∴3r﹣ r=18.

∴r=9+3

∴OB=2r=18+6

综上所述,当HE或GH与⊙O相切时,OB的长为18﹣6 或9或18或18+6


【解析】(1)设⊙O切AB于点P,连接OP,由切线的性质可知∠OPB=90°.先由菱形的性质求得∠OBP的度数,然后依据含30°直角三角形的性质证明即可;
    (2)设GH交BD于点N,连接AC,交BD于点Q.先依据特殊锐角三角函数值求得BD的长,设⊙O的半径为r,则OB=2r,MB=3r.当点E在AB上时.在Rt△BEM中,依据特殊锐角三角函数值可得到EM的长(用含r的式子表示),由图形的对称性可得到EF、ND、BM的长(用含r的式子表示,从而得到MN=18﹣6r,接下来依据矩形的面积列方程求解即可;当点E在AD边上时.BM=3r,则MD=18﹣3r,最后由MB=3r=12列方程求解即可;
    (3)先根据题意画出符合题意的图形,
    ①如图4所示,点E在AD上时,可求得DM= r,BM=3r,然后依据BM+MD=18,列方程求解即可;
    ②如图5所示;依据图形的对称性可知得到OB= BD;
    ③如图6所示,可证明D与O重合,从而可求得OB的长;
    ④如图7所示:先求得DM= r,OMB=3r,由BM﹣DM=DB列方程求解即可.本题主要考查的是四边形的综合应用,解答本题主要应用了菱形的性质、切线的性质、特殊锐角三角函数值的应用、矩形的面积公式,根据题意画出符合题意的图形是解题的关键.

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