Question

【题目】如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE= ﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S四边形DFEP=S△APF ． 正确的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①正确．作EM∥AB交AC于M． ∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAE=∠BAE= ∠CAB=22.5°，
∴∠MEA=∠EAB=22.5°，
∴∠CME=45°=∠CEM，设CM=CE=a，则ME=AM= a，
∴tan∠CAE= = = ﹣1，故①正确，②正确．△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF，故②正确，③正确．∵△PEC≌△PEF，
∴∠PCE=∠PFE=45°，
∵∠EFA=∠ACE=90°，
∴∠PFA=∠PFE=45°，
∴若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上，故③正确．④正确．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°，
∴∠CPE=∠CEP，
∴CP=CE，故④正确，⑤错误．∵△APC≌△APF，
∴S△APC=S△APF ，
假设S△APF=S四边形DFPE ， 则S△APC=S四边形DFPE ，
∴S△ACD=S△AEF ，
∵S△ACD= S△ABC ， S△AEF=S△AEC≠ S△ABC ，
∴矛盾，假设不成立．
故⑤错误．

①正确．作EM∥AB交AC于M．设CM=CE=a，则ME=AM= a，根据tan∠CAE= 即可判断．②正确．根据△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF即可判断．③正确．由△PEC≌△PEF得到∠PFA=∠PFE=45°，由此即可判断．④正确．只要证明∠CPE=∠CEP=67.5°，⑤错误．假设结论成立，推出矛盾即可．