Question

【题目】已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接DO．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠C=60°．

∵OA=OD，

∴△OAD是等边三角形．

∴∠ADO=60°，

∵DF⊥BC，

∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，

∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，

∴DF为⊙O的切线；

（2）解：∵△OAD是等边三角形，

∴AD=AO= AB=2．

∴CD=AC﹣AD=2．

Rt△CDF中，

∵∠CDF=30°，

∴CF= CD=1．

∴DF= ，

连接OE，则CE=2．

∴CF=1，

∴EF=1．

∴S直角梯形FDOE= （EF+OD）DF= ，

∴S扇形OED= = ，

∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED= ﹣ ．

【解析】（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等边三角形的性质(等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°)，还要掌握扇形面积计算公式(在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）)的相关知识才是答题的关键．