题目内容
【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
【答案】（1）解析式为： 
，顶点坐标为：（-1，4）；
（2）
， 
，最大值为： 
；
（3）P′不在该抛物线上
【解析】试题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D．
（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S△APE=
PEyP，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．
（3）由最值时，P为（-
，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将xP'坐标代入解析式，判断是否为yP'即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，
∴
，
解得
，
∴解析式为y=-x2-2x+3
∵-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标D为（-1，4）．
（2）∵A（-3，0），D（-1，4），
∴设AD为解析式为y=kx+b，有
，
解得
，
∴AD解析式：y=2x+6，
∵P在AD上，
∴P（x，2x+6），
∴S△APE=
PEyP=
（-x）（2x+6）=-x2-3x（-3＜x＜-1），
当x=-
时，S取最大值
．
（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（-
，3），
∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=
，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE=∠FEN，
∵∠PFE=∠P′FE，
∴∠FEN=∠P′FE，
∴EN=FN，
设EN=m，则FN=m，P′N=3-m．
在Rt△P′EN中，
∵（3-m）2+（
）2=m2，
∴m=
．
∵S△P′EN=
P′NP′E=
ENP′M，
∴P′M=
．
在Rt△EMP′中，
∵EM=
，
∴OM=EO-EM=
，
∴P′（
， 
）．
当x=
时，y=-（
）2-2
+3=
≠
，
∴点P′不在该抛物线上．
黄冈创优卷系列答案
【题目】在某地，人们发现某种蟋蟀1min，所叫次数x与当地温度T之间的关系或为T=ax＋b，下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表：
蟋蟀叫的次数（x） | … | 84 | 98 | 119 | … |
温度（℃）T | … | 15 | 17 | 20 | … |
①根据表中的数据确定a、b的值.
②如果蟋蟀1min叫63次，那么该地当时的温度约为多少摄氏度？
