Question

【题目】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），固定三角板，另一三角板的边从边开始绕点顺时针旋转，设旋转的角度为．

（1）当时；

①若，则的度数为 ；

②若，求的度数；

（2）由（1）猜想与的数量关系，并说明理由；

（3）当时，这两块三角尺是否存在一组边互相垂直？若存在，请直接写出所有可能的值，并指出哪两边互相垂直（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①150°；②50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见详解；（3）当=30°时，AD⊥CE，当=90°时，AC⊥CE，当=75°时，AD⊥BE，当=45°时，CD⊥BE．

【解析】

（1）①先根据直角三角板的性质求出∠DCB的度数，进而可得出∠ACB的度数；②由∠ACB=130°，∠ACD=90°，可得出∠DCB的度数，进而得出∠DCE的度数；
（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别证明∠ACB与∠DCE的数量关系，即可；
（3）分4种情况：①若AD⊥CE时，②若AC⊥CE时， ③若AD⊥BE时，④若CD⊥BE时，分别求出的值，即可．

（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，

∴∠DCB=90°30°=60°，

∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，

故答案是150°；

②∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，

∴∠DCB=130°90°=40°，

∴∠DCE=90°40°=50°；

（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：

①当时，如图1，

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，

∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；

②当时，如图2，∠ACB+∠DCE=180°，显然成立；
③当时，如图3，∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°．

综上所述：∠ACB+∠DCE=180°；

(3)存在，理由如下：

①若AD⊥CE时，如图4，则=90°-∠A=90°-60°=30°，

②若AC⊥CE时，如图5，则=∠ACE=90°，

③若AD⊥BE时，如图6，则∠EMC=90°+30°=120°，

∵∠E=45°，

∴∠ECD=180°-45°-120°=15°，

∴=90°-15°=75°，

④若CD⊥BE时，如图7，则AC∥BE，

∴=∠E=45°．

综上所述：当=30°时，AD⊥CE，当=90°时，AC⊥CE，当=75°时，AD⊥BE，当=45°时，CD⊥BE．