Question

【题目】如图，已知四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，E，F分别位于DC边和BC边上．

（1）求∠DAE的度数；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求等边三角形AEF的面积；
（3）将△AEF绕着点E逆时针旋转m（0＜m＜180）度，使得点A落在正方形ABCD的边上，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，AF=AE，∠B=∠D=90°，

在Rt△ABF与Rt△ADE， ，

∴Rt△ABF≌Rt△ADE，

∴∠DAE=∠BAF

又∠DAE+∠BAF=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣60°=30°

∴∠DAE=15°；

（2）解：设BF=x，由（1）可知DE=BF=x，则CF=CE=1﹣x

∴AB2+BF2=AF2，CF2+CE2=EF2，AF=EF，
即：12+x2=2（1﹣x）2

∴x1=2+ ，x2=2 ，

∵0＜x＜1，

∴x1=2+ （舍去），x=2 ，

∴S△AEF=S四边形ABCD﹣2S△ABF﹣S△EFC=12﹣2× 1×（2﹣ ）﹣ （ ﹣1）2=2 ﹣3；

（3）解：依题意，点A可落在AB边上或BC边上．

①当点A落在AB边上时，设此时点A的对应点为M，则EA=EM，

∵∠EAB=75°，

∴∠AME=75°，

∴m=∠AEM=180°﹣75°﹣75°=30°，

②当点A落在边BC上时，

∵EA=EF，点A旋转后与点F重合，

∴m=∠AEF=60°，

综上，m=30°或m=60°．

【解析】（1）由正方形性质得AB=AD，AF=AE，∠B=∠D=90°，再根据直角三角形的判定得Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），由全等三角形的性质得∠DAE=∠BAF，由等边三角形和正方形的性质得∠DAE的度数.
（2）设BF=x，由（1）知DE=BF=x，则CF=CE=1﹣x，由勾股定理得AB2+BF2=AF2，CF2+CE2=EF2，AF=EF，即12+x2=2（1﹣x）2（0＜x＜1），
求出x=2 ，再由S△AEF=S四边形ABCD﹣2S△ABF﹣S△EFC求出即可.
（3）依题分两种情况来分析：①当点A落在AB边上时，设此时点A的对应点为M，则EA=EM；②当点A落在边BC上时；根据旋转的性质和三角形内角和定理即可求出答案.
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的面积的相关知识，掌握三角形的面积=1/2×底×高，以及对等边三角形的性质的理解，了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．