Question

如图，AB是圆O的直径，AM和BN是圆O的两条切线，E是圆O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于C，且OD∥BE，OF∥BN.

（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）求证：OF=CD.

Answer 1

见解析

证明：（1）连接OE，

∵AM是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴∠DAO=90⁰。
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠OBE，∠DOE=∠OEB。
∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE。
∴∠AOD=∠DOE。
在△AOD和△DOE中，∵OA=OE，∠AOD=∠DOE，OD=OD，
∴△AOD≌△DOE（SAS）。∴∠DAO=∠DEO=90⁰。
∴DE与⊙O相切。
（2）∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴MA⊥AB，NB⊥AB。∴AD∥BC。
∵点O是AB的中点，OF∥BN，∴OF（AD＋BC）。
∵DE切⊙O于点E，∴DA=DE，CB=CE。
∴DC=AD＋CB。∴OF=CD。
（1）连接OE，由已知，通过SAS证明△AOD≌△DOE，即可得∠DAO=∠DEO=90⁰，从而得出结论。
（2）一方面由梯形中位线定理得到OF（AD＋BC），另一方面由切线的性质，得DA=DE，CB=CE，从而证得结论。