Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别于BC、AD相交于点E、F.

（1）求证四边形BEDF为矩形.
（2）若BD²=BE·BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.

Answer 1

（1）见解析（2）CD与⊙O相切

解：（1）证明：∵BD为⊙O的直径，∴∠DEB=∠DFB=90⁰。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。
∴∠FBC=∠DFB=90⁰，∠EDA=∠BED=90⁰。
∴四边形BEDF为矩形。
（2）直线CD与⊙O的位置关系式相切。理由如下：
∵BD²=BE•BC，∴。
∵∠DBC=∠CBD，∴△BED∽△BDC。∴∠BDC=∠BED=90⁰，即BD⊥CD。
∵OD是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切。
（1）求出∠DEB=∠DFB=90°，根据平行四边形的性质推出AD∥BC，推出∠FBC=∠DFB=90°，∠EDA=∠BED=90⁰，根据矩形的判定推出即可。
（2）根据已知求出△BED∽△BDC，推出∠BDC=∠BED=900，根据切线判定推出即可。