题目内容
【题目】如图所示,在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,O是AB的中点,⊙O与AC、BC分别相切于点D、E,点F是⊙O与AB的一个交点,连接DF并延长交CB的延长线于点G,则BG的长是 .
【答案】2 ﹣2
【解析】解:连接OD. ∵AC为圆O的切线,∴OD⊥AC,
又∵AC=BC=4,∠C=90°,
∴∠A=45°,
根据勾股定理得:AB= =4
,
又∵O为AB的中点,
∴AO=BO= AB=2
,
∴圆的半径DO=FO=AOsinA=2 ×
=2,
∴BF=OB﹣OF=2 ﹣2.
∵GC⊥AC,OD⊥AC,
∴OD∥CG,
∴∠ODF=∠G,
又∵∠OFD=∠BFG,
∴△ODF∽△BGF,
∴ ,即
=
,
∴BG=2 ﹣2.
故答案为:2 ﹣2.
连接OD,由AC为圆O的切线,根据切线的性质得到OD与AC垂直,又AC=BC,且∠C=90°,得到三角形ABC为等腰直角三角形,得到∠A=45°,在直角三角形ABC中,由AC与BC的长,根据勾股定理求出AB的长,又O为AB的中点,从而得到AO等于BO都等于AB的一半,求出AO与BO的长,再由OB﹣OF求出FB的长,同时由OD和GC都与AC垂直,得到OD与GC平行,得到一对内错角相等,再加上对顶角相等,由两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ODF与三角形GBF相似,由相似得比例,把OD,OF及FB的长代入即可求出GB的长.
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