题目内容
如图,抛物线经过A,C,D三点,且三点坐标为A(-1,0),C(0,5),D(2,5),抛物线与x轴的另一个交点为B点,点F为y轴上一动点,作平行四边形DFBG,
(1)B点的坐标为______;
(2)是否存在F点,使四边形DFBG为矩形?如存在,求出F点坐标;如不存在,说明理由;
(3)连结FG,FG的长度是否存在最小值?如存在求出最小值;若不存在说明理由;
(4)若E为AB中点,找出抛物线上满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标x的范围:______.
(1)B点的坐标为______;
(2)是否存在F点,使四边形DFBG为矩形?如存在,求出F点坐标;如不存在,说明理由;
(3)连结FG,FG的长度是否存在最小值?如存在求出最小值;若不存在说明理由;
(4)若E为AB中点,找出抛物线上满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标x的范围:______.
(1)∵C(0,5),D(2,5),
∴抛物线的对称轴为直线x=
=1,
∵A(-1,0),
∴2×1-(-1)=3,
∴点B的坐标为(3,0);
(2)如图,连接CD,则∠DCF=90°,
∵四边形DFBG为矩形,
∴∠DFC+∠OFB=180°-90°=90°,
∴∠DFB=90°
∵∠OFB+∠OBF=90°,
∴∠DFC=∠OBF,
又∵∠DCF=∠FOB=90°,
∴△CDF∽△OFB,
∴
=
,
∵B(3,0),C(0,5),D(2,5),
∴CD=2,OB=3,OC=5,
∴CF=5-OF,
∴
=
,
整理得,OF2-5OF+6=0,
解得OF=2或OF=3,
∴点F的坐标为(0,2)或(0,3);
(3)连接BD,设FG、BD相交于点H,
∵四边形DFBG是平行四边形,
∴FG、BD互相平分,
∴FG=2FH,
又∵B(3,0),D(2,5),
∴点H的坐标为(2.5,2.5),
根据垂线段最短,FH⊥y轴时,FH最短,
此时,FH=2.5,
FG=2FH=2×2.5=5;
(4)设抛物线解析式为y=a(x-1)2+k(a≠0),
把点A、C的坐标代入得,
,
解得
,
∴抛物线解析式为y=-
(x-1)2+
,
∵E为AB中点,
∴点E的坐标为(1,0),
∴以E为圆心,以2为半径的圆为(x-1)2+y2=4,
与抛物线解析式联立消掉(x-1)2得,-
(4-y2)+
=y,
整理得,5y2-3y=0,
解得y1=0,y2=
,
y=
时,-
(x-1)2+
=
,
整理得,(x-1)2=
,
解得x1=
,x2=
,
∴-1<x<
或
<x<3时,抛物线上的点到E点的距离小于2.
故答案为:(1)(3,0);(4)-1<x<
或
<x<3.
∴抛物线的对称轴为直线x=
2 |
2 |
∵A(-1,0),
∴2×1-(-1)=3,
∴点B的坐标为(3,0);
(2)如图,连接CD,则∠DCF=90°,
∵四边形DFBG为矩形,
∴∠DFC+∠OFB=180°-90°=90°,
∴∠DFB=90°
∵∠OFB+∠OBF=90°,
∴∠DFC=∠OBF,
又∵∠DCF=∠FOB=90°,
∴△CDF∽△OFB,
∴
CD |
OF |
CF |
OB |
∵B(3,0),C(0,5),D(2,5),
∴CD=2,OB=3,OC=5,
∴CF=5-OF,
∴
2 |
OF |
5-OF |
3 |
整理得,OF2-5OF+6=0,
解得OF=2或OF=3,
∴点F的坐标为(0,2)或(0,3);
(3)连接BD,设FG、BD相交于点H,
∵四边形DFBG是平行四边形,
∴FG、BD互相平分,
∴FG=2FH,
又∵B(3,0),D(2,5),
∴点H的坐标为(2.5,2.5),
根据垂线段最短,FH⊥y轴时,FH最短,
此时,FH=2.5,
FG=2FH=2×2.5=5;
(4)设抛物线解析式为y=a(x-1)2+k(a≠0),
把点A、C的坐标代入得,
|
解得
|
∴抛物线解析式为y=-
5 |
3 |
20 |
3 |
∵E为AB中点,
∴点E的坐标为(1,0),
∴以E为圆心,以2为半径的圆为(x-1)2+y2=4,
与抛物线解析式联立消掉(x-1)2得,-
5 |
3 |
20 |
3 |
整理得,5y2-3y=0,
解得y1=0,y2=
3 |
5 |
y=
3 |
5 |
5 |
3 |
20 |
3 |
3 |
5 |
整理得,(x-1)2=
91 |
25 |
解得x1=
5-
| ||
5 |
5+
| ||
5 |
∴-1<x<
5-
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5 |
5+
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5 |
故答案为:(1)(3,0);(4)-1<x<
5-
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5 |
5+
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5 |
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