题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴与点A，交直线y=x于点B，抛物线y=ax2-2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．
（1）求点C、D的纵坐标．
（2）求a、c的值．
（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．
（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．
（1）∵点C在直线AB：y=-2x+42上，且C点的横坐标为16，
∴y=-2×16+42=10，即点C的纵坐标为10；
∵D点在直线OB：y=x上，且D点的横坐标为4，
∴点D的纵坐标为4；

（2）由（1）知点C的坐标为（16，10），点D的坐标为（4，4），
∵抛物线y=ax2-2x+c经过C、D两点，
∴
256a-32+c=10
16a-8+c=4
，
解得：
a=
1
8
c=10
．
∴抛物线的解析式为y=
1
8
x2-2x+10；

（3）∵Q为线段OB上一点，纵坐标为5，
∴Q点的横坐标也为5，
∵点P在抛物线上，纵坐标为5，
∴
1
8
x2-2x+10=5，
解得x1=8+2
6
，x2=8-2
6
．
当点P的坐标为（8+2
6
，5），点Q的坐标为（5，5），线段PQ的长为2
6
+3；
当点P的坐标为（8-2
6
，5），点Q的坐标为（5，5），线段PQ的长为2
6
-3．
所以线段PQ的长为2
6
+3或2
6
-3；

（4）∵PQ⊥x轴，
∴P、Q两点的横坐标相同，都为m，
∴P（m，
1
8
m2-2m+10），Q（m，m）（此时Q在线段OB上）或Q（m，-2m+42）（此时Q在线段AB上）．
由
y=x
y=-2x+42
，
解得
x=14
y=14
．
∴点B的坐标为（14，14）．
①当点Q为线段OB上时，如图所示，
在OD段，即当0≤m＜4时，d=（
1
8
m2-2m+10）-m=
1
8
m2-3m+10=
1
8
（m-12）2-8，d随m的增大而减小；
在BD段，即当4≤m≤14时，d=m-（
1
8
m2-2m+10）=-
1
8
m2+3m-10=-
1
8
（m-12）2+8，
在对称轴右侧，d随m的增大而减小，即当12＜m≤14时，d随m的增大而减小．
则当0≤m＜4或12≤m≤14时，d随m的增大而减小；
②当点Q为线段AB上时，如图所示，
在BC段，即当14≤m＜16时，d=（-2m+42）-（
1
8
m2-2m+10）=-
1
8
m2+32，
在对称轴右侧，d随m的增大而减小，即当14≤m＜16时，d随m的增大而减小；
在CA段，即当16≤m≤21时，d=（
1
8
m2-2m+10）-（-2m+42）=
1
8
m2-32，
在对称轴左侧，d随m的增大而减小，m不满足条件．
综上所述，当0≤m＜4或12≤m＜16时，d随m的增大而减小．
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1
2
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1
2
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2
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