Question

【题目】如图，已知△ABC是等边三角形， D、 E分别在边AB、AC上，且AD=CE，CD与BE相交于点O．

（1）如图①，求∠BOD的度数；

（2）如图②，如果点D、 E分别在边AB、CA的延长线上时，且AD=CE，求∠BOD的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠BOD=60°；（2）∠BOD=120°．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得BC=AC, ∠BCE=∠CAD =60°，然后利用SAS即可证出△BCE≌△CAD，从而得出∠CBE=∠ACD，然后利用等量代换和三角形外角的性质即可求出∠BOD的度数；

（2）根据等边三角形的性质可得BC=AC, ∠BCE=∠CAD =60°，然后利用SAS即可证出△BCE≌△CAD，从而得出∠CBE=∠ACD，然后利用三角形内角和定理、等量代换和三角形外角的性质即可求出∠BOD的度数．

解：（1）∵△ABC是等边三角形

∴BC=AC, ∠BCE=∠CAD =60°

在△BCE与△CAD中

∴△BCE≌△CAD．

∴∠CBE=∠ACD．

∵∠BCD+∠ACD=60°

∴∠BCD+∠CBE=60°

又∵∠BOD=∠BCD+∠CBE

∴∠BOD=60°

（2）∵△ABC是等边三角形

∴BC=AC，∠BCE=∠CAD =60°

在在△BCE与△CAD中

∴△BCE≌△CAD

∴∠CBE=∠ACD

而∠CBE+∠BCA+∠E=180°，∠BCA=60°

∴∠ACD+60°+∠E=180°

∴∠ACD+∠E=120°

又∵∠BOD=∠ACD+∠E

∴∠BOD=120°．