Question

如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

Answer 1

详见试题解析.

试题分析：
（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
试题解析：
（1）∵BD平分∠ABC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD
∴PM=PN
∵PD=PD    Rt△PMD≌Rt△PND
∴∠ADB=∠CDB          （5分）
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD
∴∠PMD=∠PND=90°
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形
∵PM=PN
∴四边形MPND是正方形               （10分）