Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB边的中点，连接CD，点P为BC边上一点，把△PBD沿PD翻折，点B落在点E处，设PE交AC于F．

（1）如图1，求证：△PCF的周长＝CD．

（2）若点P为BC边的延长线上一点，（1）中结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，线段PC、CF、PF、CD之间是否存在其它的数量关系，画出图形并证明．

（3）如图2，设DE交AC于G．若∠FPC＝30°，CD＝3，直接写出FG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PF+FC﹣PC＝2CD，理由见解析；（3）FG＝2﹣2．

【解析】

（1）如图1﹣1中，连接CE．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知CP+PF+CF＝BC＝CD；

（2）结论：PF+FC﹣PC＝2CD．首先证明FC＝FE，可得CF+PF＝PE＝BP，推出△PFC的周长＝PC+PF+FC＝PC+PB＝2PC+BC，可得PF+FC﹣PC＝2BC＝2CD；

（3）如图2﹣1中，连接EC．作GK⊥PE于K．由（1）可知：EF＝CF，PF+FC+PC＝CD＝6+2，设FC＝EF＝a，构建方程求出a，设GF＝m，在Rt△FGK中，由∠GFK＝∠PFC＝60°，推出∠FGK＝30°，推出FK＝m，GK＝m，构建方程求出m即可解决问题；

解：（1）如图1﹣1中，连接CE．

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB边的中点，

∴BD＝CD．

∵由翻折可知BD＝DE，

∴CD＝BD＝DE，

∴∠DCE＝∠DEC，

∴∠DCE﹣∠DEA＝∠DEC﹣∠DEF，即∠FCE＝∠FEC，

∴FC＝FE，

∴CF+PF＝PE＝BP，

∴CP+PF+CF＝BC＝CD

∴△PCF的周长＝CD；

（2）结论：PF+FC﹣PC＝2CD．

理由：如图1﹣2中，连接EC．

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB边的中点，

∴BD＝CD．

∵由翻折可知BD＝DE，

∴CD＝BD＝DE，

∴∠DCE＝∠DEC，

∴∠DCE﹣∠DEA＝∠DEC﹣∠DEF，即∠FCE＝∠FEC，

∴FC＝FE，

∴CF+PF＝PE＝BP，

∴△PFC的周长＝PC+PF+FC＝PC+PB＝2PC+BC，

∴PF+FC﹣PC＝2BC＝2CD．

（3）如图2﹣1中，连接EC．作GK⊥PE于K．

由（1）可知：EF＝CF，PF+FC+PC＝CD＝6+2，设FC＝EF＝a，

∵∠FPC＝30°，

∴PF＝2a，PC＝a，

∴3a+a＝6+2，

∴a＝2，设GF＝m，在Rt△FGK中，∵∠GFK＝∠PFC＝60°，

∴∠FGK＝30°，

∴FK＝m，GK＝m，

∵∠GEK＝∠B＝45°，

∴EK＝GK＝m，

∴m+m＝2，

∴m＝2﹣2．

∴FG＝2﹣2．