题目内容
【题目】如图所示,直线DP和圆O相切于点C,交直线AE的延长线于点P,过点C作AE的垂线,交AE于点F,交圆O于点B,作平行四边形ABCD,连接BE,DO,CO.
(1)求证:DA=DC;
(2)求∠P及∠AEB的大小.
【答案】
(1)证明:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,
∵CB⊥AE,
∴AD⊥AE,
∴∠DAO=90°,
∵DP与⊙O相切于点C,
∴DC⊥OC,
∴∠DCO=90°,
在Rt△DAO和Rt△DCO中,
,
∴Rt△DAO≌△Rt△DCO,
∴DA=DC
(2)解:∵CB⊥AE,AE是直径,
∴CF=FB= BC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,
∴CF= AD,
∵CF∥DA,
∴△PCF∽△PDA,
∴ = = ,
∴PC= PD,DC= PD,
∵DA=DC,
∴DA= PD,
在Rt△DAP中,∠P=30°,
∵DP∥AB,
∴∠FAB=∠P=30°,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ABE=90°,
∴∠AEB=60°.
【解析】(1)欲证明DA=DC,只要证明Rt△DAO≌△Rt△DCO即可;(2)想办法证明∠P=30°即可解决问题;
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质和切线的性质定理的相关知识点,需要掌握平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分;切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题.
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