题目内容
【题目】如图,一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上,边AC与EF重合,AC=12cm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时,点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动.当点E从点A滑动到点C时,点D运动的路径长为__cm;连接BD,则△ABD的面积最大值为___cm2.
【答案】;
.
【解析】
先判定点D在∠ACF的平分线上,由题意可知点D运动的轨迹是D-D′-D,求出DD′的长,即可求出点D运动的路径长;由题意知,当运动到DE⊥AC时,△ABD的面积最大,用割补法求解即可.
如图,作DG⊥AC与G,DH⊥BC与H,
∵∠EDG=90°-∠GDF,∠HDF=90°-∠GDF,
∴∠GDE=∠HDF,
又∵∠DGE=∠DHF,DE=DF,
∴△DGE≌△DHF,
∴DG=DH,
∴点D在∠ACF的平分线上.
∵AC=12,
∴CD=cos45°×AC=6.
当运动到DE⊥AC时,此时四边形CFDE是正方形,
∴ CD=EF=12,
∴DD′=12-6.,
∴点D运动的路径长为2(12-6)=(
)cm;
由题意知,当运动到DE⊥AC时,△ABD的面积最大,
BC=tan30°×AC=6.
S△ABD=S△ABC+S梯形ACFD-S△ADF
=
=.
故答案为:(1). ; (2).
.

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