Question

(6分)如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．

小题1: (1)DE和BF相等吗?请说明理由；
小题2: (2)连接AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗?说明理由．

Answer 1

小题1:(1)相等，连接BD，证明四边形DEFB是平行四边形，则BF=DE=AE
小题2:(2)是平行四边形，理由是AE平行且等于BF

分析：
（1）设AB、EF相交于G，连接BD，根据菱形的对角线互相垂直可得BD⊥AC，然后求出EG∥BD，判断出EG是△ABD的中位线，从而求出AG=BG，再根据两直线平行，内错角相等求出∠AEG=∠BFG，利用“角角边”证明△AEG和△BFG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而求出DE=BF；
（2）根据一组对边平行且相等是四边形是平行四边形解答。
解答：

（1）DE=BF．理由如下：如图。
设AB、EF相交于G，连接BD，
在菱形ABCD中，BD⊥AC，
∵EF⊥AC，
∴EG∥BD，
∵E是AD中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴AG=BG，
又∵AD∥BC，
∴∠AEG=∠BFG，
在△AEG和△BFG中，∠AEG=∠BFG、∠AGE=∠BGF、AG=BG，
∴△AEG≌△BFG（AAS），
∴AE=BF，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
∴DE=BF。
（2）四边形AFBE是平行四边形。
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AE∥BF，
又∵AE=BF，
∴四边形AFBE是平行四边形。
点评：本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直的性质，作辅助线构造出全等三角形的是解题的关键，也是本题的难点。