Question

如图，已知AB为⊙O的直径，E是AB延长线上一点，点C是⊙O上的一点，连结EC、BC、AC，且∠BCE＝∠BAC.
（1）求证：EC是⊙O的切线.
（2）过点A作AD垂直于直线EC于D，若AD＝3，DE＝4，求⊙O的半径.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）连结OC，根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠1+∠2=90°，而∠1=∠A，∠A=∠BCE，所以∠BCE=∠1，即∠BCE+∠2=90°，然后根据切线的判定定理即可得到EC是⊙O的切线.
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ADE中利用勾股定理计算出AE=5，则OE=5-r，OC=r，咋证明△EOC∽△EAD，利用相似比得到 ，即，然后解方程即可得到圆的半径．
（1）如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠1＋∠2＝90°.
∵OC＝OA，∴∠1＝∠A.
又∵∠A＝∠BCE，∴∠BCE＝∠1.
∴∠BCE＋∠2＝90°，即OC⊥EC.
又EC过半径OC的外端，∴EC是⊙O的切线.

（2）由（1）可知OC⊥EC，
又AD⊥EC，∴OC∥AD. ∴△EOC∽△EAD. ∴.
设⊙O的半径为r,
在Rt△ADE中AD＝3，ED＝4，则AE＝5,
∴OE＝5－r；OC＝r.
∴.
∴, 即⊙O的半径为.