Question

【题目】如图，已知点O在直线AB上，将一副直角三角板的直角顶点放在点O处，其中∠OCD=60°，∠OEF=45°．边OC、OE在直线AB上．

（1）如图（1），若CD和EF相交于点G，则∠DGF的度数是______°；

（2）将图（1）中的三角板OCD绕点O顺时针旋转30°至图（2）位置

①若将三角板OEF绕点O顺时针旋转180°，在此过程中，当∠COE=∠EOD=∠DOF时，求∠AOE的度数；

②若将三角板OEF绕点O以每秒4°的速度顺时针旋转180°，与此同时，将三角板OCD绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，当三角板OEF旋转到终点位置时，三角板OCD也停止旋转．设旋转时间为t秒，当OD⊥EF时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）15；（2）①当∠COE=∠EOD=∠DOF时，∠AOE=75°；②当OD⊥EF时，t的值为25．

【解析】

（1）根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）①如图2，根据已知条件求出∠COE=∠EOD=45°，得到∠AOE=∠AOC+∠COE=30°+45°=75°，当∠COE=∠EOD=∠DOF时，求得结论；②根据垂直的定义得到OD⊥EF，得到∠OHE=90，列方程求得结论．

（1）∵∠EFO=45°，∠D=30°，

∴∠DGF=∠EFO-∠D=45°-30°=15°，

故答案为：15；

（2）①如图2，

∵∠COE=∠EOD=∠DOF，∠COE+∠EOD=∠COD，∠COD=90°，

∴∠COE=∠EOD=45°，

∴∠AOE=∠AOC+∠COE=30°+45°=75°，

当∠COE=∠EOD=∠DOF时，∠AOE=75°；

②∵∠AOE=4t°，∠AOC=30°+t°，如图3，

∵OD⊥EF，

∴∠OHE=90，

∵∠E=45°，∠COD=90°，

∴∠COE=45°，

∴∠AOE-∠AOC=∠COE=45°，

即4t-（30+t）=45，

∴t=25，

∴当OD⊥EF时，t的值为25．