题目内容
如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），直线x=-3交x轴于点B，P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交于直线x=-3于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于M，交直线x=-3于点N．
（1）当点C在第二象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）设AP长为m，以P、O、B、C为顶点的四边形的面积为S，请求出S与M之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=-3上移动，△PBC是否可能成为等腰三
角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．
（1）当点C在第二象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）设AP长为m，以P、O、B、C为顶点的四边形的面积为S，请求出S与M之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=-3上移动，△PBC是否可能成为等腰三
角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．（1）证明：∵直线x=-3交x轴于点B，
∴B（-3，0），
∴OB=3，
∵A点的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∴OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠ABN=45°
∵MN∥x轴，
∴∠NPB=∠ABO=45°，
∴∠NPB=∠NBP，
∴PN=BN，
∵MN∥x轴，BN∥y轴，
∴四边形NBOM是平行四边形，
∴BN=MO，
∴PN=MO，
∵PC⊥PO，
∴∠CPO=90°，
∴∠NPC+∠OPM=90°，
∵∠OPM+∠POM=90°
∴∠NPC=∠POM，
∴△OPM≌△PCN．
（2）如图1，∵AP=m，由勾股定理得：PM=AM=
m，
∴PN=3-
m，作PH⊥x轴于点H，
∴PN=PH，∠NPC=∠HPO，∠PNC=∠PHO，
∴△PNC≌△PHO，
∴S△PNC=S△PHO，
∴S四边形POBC=S矩形PNBH，
∴S=（3-
m）2，
如图2，同理可以求得：
△PNC≌△PHO，
∴CN=HO，NP=HP=3-
m，
∴BC=
m-3
∴S△PNC=S△PHO，
∴S四边形POBC=
+
，
=
m．
S=
m（
＜m≤3
）；
S=
m2-3
m+9（0≤m≤
）；
（3）△PBC可能为等腰三角形．
①当P与A重合时，PC=BC=3，此时P（0，3）；
②当点C在第二象限，且PC=CB时，
设AM=a，则PM=a，PN=3-a，BN=MO=3-a，由（1）知NC=PM=a，
∴BC=3-2a，
∴BC2=9-12a+4a2．
∵PC2=a2+（3-a）2=2a2-6a+9，
∴9-12a+4a2=2a2-6a+9，
解得：a1=0（舍去），a2=3
∴A点与P点重合．
③当点C在第三象限（如图），PB=BC时，设AP=n，由条件根据勾股定理可以知道AB=3
，AM=PM=
，MO=3-
，
∴BN=3-
，
∵由（1）得，PM=CN，
∴CN=
，
∴PB=3
-n，BC=
-(3-
)=
n-3，
∴
n-3=3
-n，
∴n=3
∴PM=
，MO=3-
，
∴（-
，3-
）
综上所述：
∴P1（0，3），P2（-
，3-
）．
∴B（-3，0），
∴OB=3，
∵A点的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∴OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠ABN=45°
∵MN∥x轴，
∴∠NPB=∠ABO=45°，
∴∠NPB=∠NBP，
∴PN=BN，
∵MN∥x轴，BN∥y轴，
∴四边形NBOM是平行四边形，
∴BN=MO，
∴PN=MO，
∵PC⊥PO，
∴∠CPO=90°，
∴∠NPC+∠OPM=90°，
∵∠OPM+∠POM=90°
∴∠NPC=∠POM，
∴△OPM≌△PCN．
（2）如图1，∵AP=m，由勾股定理得：PM=AM=
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∴PN=3-
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∴PN=PH，∠NPC=∠HPO，∠PNC=∠PHO，
∴△PNC≌△PHO，
∴S△PNC=S△PHO，
∴S四边形POBC=S矩形PNBH，
∴S=（3-
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如图2，同理可以求得：
△PNC≌△PHO，
∴CN=HO，NP=HP=3-
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∴BC=
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∴S△PNC=S△PHO，
∴S四边形POBC=
3(3-
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3(
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=
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S=
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S=
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（3）△PBC可能为等腰三角形．
①当P与A重合时，PC=BC=3，此时P（0，3）；
②当点C在第二象限，且PC=CB时，
设AM=a，则PM=a，PN=3-a，BN=MO=3-a，由（1）知NC=PM=a，
∴BC=3-2a，
∴BC2=9-12a+4a2．
∵PC2=a2+（3-a）2=2a2-6a+9，
∴9-12a+4a2=2a2-6a+9，
解得：a1=0（舍去），a2=3
∴A点与P点重合．
③当点C在第三象限（如图），PB=BC时，设AP=n，由条件根据勾股定理可以知道AB=3
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∴BN=3-
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∵由（1）得，PM=CN，
∴CN=
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∴PB=3
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∴n=3
∴PM=
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综上所述：
∴P1（0，3），P2（-
3
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练习册系列答案
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平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．