题目内容

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且12a+5c=0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动．
①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）据题意知：A（0，-2），B（2，-2）
∵A点在抛物线上，
∴c=-2
∵12a+5c=0，
∴a=
5
6
（1分）
由AB=2知抛物线的对称轴为：x=1
即：-
b
2a
=1，b=-
5
3

∴抛物线的解析式为：y=
5
6
x2-
5
3
x-2．（3分）

（2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2（4分）
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）．（5分）
②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
∴S=5（t-
4
5
）2+
4
5
（0≤t≤1），
∴当t=
4
5
时，S取得最小值
4
5
．（6分）
这时PB=2-
8
5
=0.4，BQ=0.8，P（1.6，-2），Q（2，-1.2）．（7分）
分情况讨论：
（A）假设R在BQ的右边，这时QR=∥PB，则：
R的横坐标为2.4，R的纵坐标为-1.2，即（2.4，-1.2），
代入y=
5
6
x2-
5
3
x-2，左右两边相等，
∴这时存在R（2.4，-1.2）满足题意．（8分）
（B）假设R在BQ的左边，这时PR=∥QB，
则：R的横坐标为1.6，纵坐标为-1.2，即（1.6，-1.2）
代入y=
5
6
x2-
5
3
x-2，左右两边不相等，R不在抛物线上．（9分）
（C）假设R在PB的下方，这时PR=∥QB，
则：R（1.6，-2.8）代入y=
5
6
x2-
5
3
x-2，左右不相等，R不在抛物线上．
综上所述，存在一点R（2.4，-1.2）满足题意．（10分）
练习册系列答案
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已知抛物线y=-
1
2
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（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线y=-
1
2
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抛物线APB
线段BC（1，0）x=1（1，-1）
线段CD（1，-1）
线段AD（1，0）
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1
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