Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OE=cm，AC=cm，求DC的长（结果保留根号）．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∴∠ADC=∠OCF，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCF=90°，

∴OC⊥CD，

∵OC为半径，

∴CD是⊙O的切线．

（2）

∵OE⊥AC，

∴AE=AC=cm，

在Rt△AOE中，AO==4cm，

由1得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°，

∴△AOE∽△ACD，

∴，

即，

∴DC=cm．

【解析】
【考点精析】掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．