Question

【题目】如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．

（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CGCE．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可得：BO=4cm，t==2（s）；

（2）

解：如图2，连接O与切点H，

则OH⊥AC，

又∵∠A=45°，

∴AO=OH=3cm，

∴AD=AO﹣DO=（3﹣3）cm；

（3）

证明：如图3，连接EF，

∵OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD，

∵DE为直径，

∴∠ODF+∠DEF=90°，

∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°，

∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，

又∵∠FCG=∠ECF，

∴△CFG∽△CEF，

∴=，

∴CF2=CGCE．

【解析】（1）根据题意得出BO的长，再利用路程除以速度得出时间；
（2）根据切线的性质和判定结合等腰直角三角形的性质得出AO的长，进而求出答案；
（3）利用圆周角定理以及同角的余角性质定理得出∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，进而求出△CFG∽△CEF，即可得出答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解余角和补角的特征的相关知识，掌握互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．