Question

【题目】如图，在中，，，，线段上一动点，以的速度从点出发向终点运动．过点作，交折线于点，以为一边，在左侧作正方形．设运动时间为，正方形与重叠部分面积为．

（1）________；

（2）当为何值时，点在上；

（3）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（4）直线将面积分成两部分时，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当点E在AC上时，；当点E在BC上时，

【解析】

（1）根据题意，设AC长为，然后利用勾股定理进一步列出方程求解即可；

（2）根据题意，画出当点F在AC上时的图形，然后证明出AG=DG=BD=AB=2，最后进一步计算即可；

（3）根据题意，分当时、时、当时三种情况，分别得出相应的图形，然后根据图形进一步计算求解即可；

（4）如图所示，①当点E在AC上时，画出此时的正方形DEFG，连接BF交AC于点M，

根据题意首先求出，然后进一步证明△FEM~△BAM，接着利用相似三角形性质进一步求解即可；②当点E在BC上时，，画出此时的正方形DEFG，延长BF交AC于点M，过点F作FN⊥BC交BC于N，首先根据等腰直角三角形性质得出BD=DE=EF=，NE=FN=，然后进一步证明△BFN~△BMC，从而得出，由此进一步分析即可得知当直线将面积分成两部分时的的取值范围.

（1）设AC长为，则BC=，

则在Rt△ABC中，，

即：，

解得：，

∵是正数，

∴，

∴AC=，

故答案为：；

（2）当点F在AB上时，可得下图：

∵四边形DEFG是正方形，

∴EF∥AB，EF=FG=GD=ED，∠FGA=∠EDB=90°，

∵在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，

∴∠B=∠A=45°，

∴△AGF与△BDE是等腰直角三角形，

∴AG=GF，DE=BD，

∴AG=DG=BD=AB=2，

∴AD=4，

∴此时；

（3）如图，当时，重叠部分为△ADE，

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠B=45°，

∵DE⊥AB，

∴∠AED=45°，

∴AD=DE=，

∴；

如图，当时，重叠部分是五边形MNEDG，

∵四边形DEFG是正方形，

∴FG=GD=DE，∠AGM=∠EDB=∠F=90°，

∵∠B=∠A=45°，

∴∠AMG=∠DEB=45°，

∴AG=GM，BD=DE，

∴FG=DG=DE=DB=，

∴MG=AG=ADDG=，

∴FM=FGMG=，

∵∠AMG=45°，∠F=90°，

∴∠FNM=45°，

∴FN=FM=，

∴；

如图，当时，重叠部分为正方形DEFG，

∵四边形DEFG是正方形，

∴GD=DE，∠EDB=90°，

∵∠B=45°，

∴∠DEB=45°，

∴DE=DB=，

∴，

综上所述，；

（4）

①如上图所示，当点E在AC上时，画出此时的正方形DEFG，连接BF交AC于点M，

∵要使直线将面积分成两部分，

∴此时，

∴，

∴，

∵EF∥AB，

∴∠FEM=∠BAM，

∴△FEM~△BAM，

∴，

又∵在等腰Rt△ADE中，AE=，

∴，

∴；

②如上图所示，当点E在BC上时，，画出此时的正方形DEFG，延长BF交AC于点M，过点F作FN⊥BC交BC于N，

则BD=DE=EF=，

在Rt△BDE中，∠ABC=45°，

∴BE=BD=，

∵EF∥AB，

∴∠NEF=∠CBA=45°，

∵FN⊥BC，

∴△FNE为等腰直角三角形，

∴NE=FN=，

∵∠C=∠FNB，∠CBM=∠NBF，

∴△BFN~△BMC，

∴，

∵AC=BC，

∴，

∴，

∴，

∴当直线将面积分成两部分时，，

综上所述，当点E在AC上时，；当点E在BC上时，.