Question

如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB交⊙O于C，P为BC延长线上一动点，D为AP中点，DE⊥PA，交半径OC于E，连CD．下列结论：①PE⊥AE；②DC=DE；③∠OEA=∠APB；④PC+

2

CE为定值．其中正确结论的个数为（　　）

A．l个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

①如图：∵点D是AP的中点，且DE⊥AP，∴DE是AP的垂直平分线，
又AB是半⊙O的直径，OC⊥AB，∴OC是AB的垂直平分线，
∴点E是△ABP的外心，
∵∠ABC=45°，∴∠AEP=90°（同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）
∴PE⊥AE，故①正确．
②∵AB是半⊙O的直径，∴∠ACB=90°=∠ACP=∠AEP，
∴点C和点E在以点D为圆心的同一个圆上，∴DC=DE，故②正确．
③由①知点E是△ABP的外心，∴∠APB=

1

2

∠AEB=∠AEO，故③正确．
④在直角△APC中，PC=AP•cos∠APC=

2

AE•cos∠AE0=

2

AE•

OE

AE

=

2

OE，
∴PC+

2

CE=

2

OE+

2

CE=

2

（OE+CE）=

2

OC，
∴PC+

2

CE为定值，是⊙O半径的

2

倍．故④正确．
故选D．