题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,点P是AB下方的半圆上不与点A,B重合的一个动点,点C为AP的中点,连接CO并延长,交⊙O于点D,连接AD,过点D作⊙O的切线,交PB的延长线于点E,连接CE.
(1)求证:△DAC≌△ECP;
(2)填空:
①当∠DAP=______°时,四边形DEPC为正方形;
②在点 P的运动过程中,若⊙O的直径为10,tan∠DCE=,则AD=______.
【答案】(1)见解析;(2)①45,②.
【解析】
(1)先由切线的性质得到∠CDE=90°,再利用垂径定理的推理得到DC⊥AP,接着根据圆周角定理得到∠APB=90°,于是可判断四边形DEPC为矩形,所以DC=EP,然后根据“SAS”判断△DAC≌△ECP;
(2)①利用四边形DEPC为矩形得到DE=PC=AC,则根据正方形的判定方法得DC=CP时,四边形DEPC为正方形,则DC=CP=AC,于是得到此时△ACD为等腰直角三角形,所以∠DAP=45°;
②先证明∠ADC=∠DCE,再在Rt△ACD中利用正切得到tan∠ADC=,则设AC=x,DC=2x,利用勾股定理得到AD=x,然后在Rt△AOC中利用勾股定理得到x2+(2x5)2=52,再解方程求出x即可得到AD的长.
(1)证明:∵是的直径,
∴.
∵点为的中点,点为的中点,
∴为的中位线,,
∴,
∴,即.
∵是圆的切线,
∴,
∴四边形为矩形,
∴.
又∵,,
∴.
(2)解:①∵四边形DEPC为矩形,
∵DE=PC=AC,
∵当DC=CP时,四边形DEPC为正方形,
此时DC=CP=AC,
∴△ACD为等腰直角三角形,
∴∠DAP=45°;
②∵DE=AC,DE∥AC,
∴四边形ACED为平行四边形,
∴AD∥CE,
∴∠ADC=∠DCE,
在Rt△ACD中,tan∠ADC==tan∠DCE=,
设AC=x,则DC=2x,
∴AD=,
在Rt△AOC中,AO=5,OC=CDOD=2x5,
∴x2+(2x5)2=52,解得x1=0(舍去),x2=4,
∴AD=.
故答案为①45;②.