题目内容
【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．
（1）当⊙O的半径为1时，
①分别判断在点D（
，
），E（0，
），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有__________；
②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程．
③点P在直线
上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线
与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
【答案】（1）①点
和点
②见详解③
（2）
【解析】
（1）由相邻点定义可知：在
内的点必为相邻点；在外的点必须满足
，其中点
是
的中点且
，因此若半径为
的有相邻点
，则
的长必须满足
且
，分别求出、、
到
的距离即可判断；求出直线
与坐标轴的交点分别为
、
，有前面的结论可知点的横坐标取值范围为：；
（2）根据（1）可知且，点在线段
上移动，因此点
在以点为圆心，半径为
的圆内，且不能以点为圆心，半径为的圆上，再根据点在
轴上，即可得出点的横坐标取值范围为：．
解：（1）由定义可知，当点在内时，由垂径定理可知，点必为的相邻点，此时
;
当点在外时，设点是的中点，连接交于点
，并延长交于点
，连接
、
，如图：
∵
，
∴
∵
∴
∴
∴
∵点是的中点
∴
∵的半径为
∴
∴
∵
是的弦
∴
∴
∴
∴
∴
∵点在外
∴
∴当点在上，即
时，不符合题意；
∴综上所述，半径为的，当点与的距离满足且时，点为的相邻点．
①∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴点和点是的相邻点；
②连接
，过点作的垂线交于、
，如图：
③如图：
∵当
时，
当
时，
∴直线与坐标轴的交点为、
∵点在直线上，且点是的相邻点
∴
，
∵点在外
∴
∴点的横坐标取值范围为：；
（2）如图：
∵当时，
∴
∵当时，
∴
∵点是半径为的的相邻点
∴且
∴点在以点为圆心，半径为的圆内，且不能以点为圆心，半径为的圆上
∵点在轴上
∴点的横坐标取值范围为：．
故答案是：（1）①点和点②见详解③（2）
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