Question

【题目】如图1，反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A（2 ，1），射线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．

（1）求k和a的值；
（2）直线AC的解析式；
（3）如图3，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（2 ，1）代入y= ，可得k=2 ×1=2 ，

∴反比例函数解析式为y= ，

把B（1，a）代入反比例函数解析式y= ，可得a=2

（2）

解：作BH⊥AD于H，如图2，

∵B点坐标为（1，2 ），

∴AH=2 ﹣1，BH=2 ﹣1，

∴△ABH为等腰直角三角形，

∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∵AD=2 ，设CD=x，则AC=2x，

∴由勾股定理可得CD=2，AC=4，

∴C点坐标为（0，﹣1），

设直线AC解析式为y=kx+b，

把A（2 ，1），C（0，﹣1）代入可得

，解得 ，

∴直线AC解析式为y= x﹣1

（3）

解：设M点坐标为（t， ）（0＜t＜1），

∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，

∴N点坐标为（t， t﹣1），

∴MN= ﹣（ t﹣1）= ﹣ t+1，

∴S△CMN= t（ ﹣ t+1）=﹣ t2+ t+ ，

∴当t=﹣ = 时，S有最大值，最大值为

【解析】（1）把A点代入反比例函数解析式可求得k，把B点坐标代入反比例函数解析式可求得a的值；（2）过B作BH⊥AD于H，由A、B坐标可得出△ABH为等腰直角三角形，由条件可求得∠DAC=30°，在△ACD中，由勾股定理可求得CD、AC，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；（3）可设出M点坐标为（t， ），从而可表示出N点坐标，则可用t表示出MN的长，则可用t表示出△CMN的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解反比例函数的图象的相关知识，掌握反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点，以及对反比例函数的性质的理解，了解性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．